(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Tiên đề tách(Separation axiom)

Các tiên đề tách đưa ra những điều kiện để hạn chế các không gian tôpô vào một số loại để xem xét.

Khái niệm hai điểm khác nhau là chưa đủ, mà chúng cần được phân biệt tôpô(topologically distinguishable). Tương tự, các tập con của không gian tôpô rời nhau là chưa đủ, chúng cần tách nhau(separated).

Cho X là một không gian tôpô. Hai điểm x và y là phân biệt tôpô nếu chúng không chính xác có cùng lân cận(hoặc lân cận mở). Đó là, ít nhất một điểm có một lân cận không là lân cận của điểm kia(hoặc tương đương, có một tập mở chứa một điểm này nhưng không chứa điểm kia).

Hai điểm x và y là tách nhau nếu mỗi điểm có một lân cận không là lân cận của điểm kia. Đó là, không điểm nào thuộc bao đóng của điểm kia. Hai tập con A và B là tách nhau nếu mỗi tập rời với bao đóng của tập kia(bản thân các bao đóng thì không phải rời nhau). Tất cả các điều kiện còn lại để tách các tập cũng có thể được áp dụng cho các điểm(hoặc áp dụng giữa một điểm và một tập) bằng cách sử dụng các tập đơn (tập một-điểm). Các điểm x và y đươc coi là tách nhau, bởi các lân cận, bởi các lân cận mở, bởi một hàm liên tục, chính xác bởi một hàm liên tục, nếu và chỉ nếu các tập đơn của chúng {x} và {y} là tách nhau theo tiêu chuẩn tương ứng.

Các tập con A và B là tách nhau bởi lân cận nếu chúng có các lân cận rời nhau. Chúng là là tách nhau bởi lân cận đóng nếu chúng có các lân cận đóng rời nhau. Chúng là tách nhau bởi một hàm liên tục nếu tìm được một hàm liên tục f từ không gian X tới tập ℝ sao cho ảnh f(A) bằng {0} và f(B) bằng {1}. Sau cùng, chúng là tách nhau chính xác bởi một hàm liên tục nếu tìm được một hàm liên tục f từ không gian X tới tập ℝ sao cho các tiền ảnh f-1({0}) bằng A và f-1({1}) bằng B.

Mức độ tăng dần của những điều kiện tách nhau có thể tóm lược như sau: Bất kỳ hai điểm phân biệt tôpô phải khác nhau. Bất kỳ hai điểm tách nhau phải phân biệt tôpô. Bất kỳ hai tập tách nhau phải rời nhau. Và bất kỳ hai tập tách nhau bởi lân cận phải tách nhau, vân vân.

Các tiên đề

Cho X là một không gian tôpô, X là

  • T0 hay Kolmogorov, nếu bất kỳ hai điểm khác nhau trong X là phân biệt tôpô.
  • R0 hay đối xứng, nếu bất kỳ hai điểm phân biệt tôpô trong X là tách nhau.
  • T1 hay có thể truy cập(accessible), hay Fréchet, nếu bất kỳ hai điểm khác nhau trong X là tách nhau. Như vậy, T1 bao hàm cả T0 và R0.
  • R1 hay tiền chính quy(preregular), nếu bất kỳ hai điểm phân biệt tôpô trong X là tách nhau bởi lân cận.
  • Hausdorff, hay T2, hay tách(separated), nếu bất kỳ hai điểm khác nhau trong X là tách nhau bởi lân cận.
  • T2½ hay Urysohn, nếu bất kỳ hai điểm khác nhau trong X là tách nhau bởi lân cận đóng. Mọi không gian T2½ cũng là Hausdorff.
  • Hausdorff đầy đủ hay T2 đầy đủ, nếu bất kỳ hai điểm khác nhau trong X là tách nhau bởi một hàm liên tục. Mọi không gian Hausdorff đầy đủ cũng là T2½.
  • Chính quy(regular), nếu cho một điểm x và một tập đóng F bất kỳ trong X mà x Ï F, chúng là tách nhau bởi lân cận. Mọi không gian chính quy cũng là R1.
  • Hausdorff chính quy hay T3 nếu nó là cả T0 và chính quy. Mọi không gian Hausdorff chính quy cũng là T2½.
  • Hoàn toàn chính quy(completely regular), nếu cho một điểm x và một tập đóng F bất kỳ trong X mà x Ï F, chúng là tách nhau bởi một hàm liên tục. Mọi không gian hoàn toàn chính quy cũng chính quy.
  • Tychonoff, T3½ hay T3 đầy đủ, hay Hausdorff hoàn toàn chính quy, nếu nó là cả T0 và hoàn toàn chính quy. Mọi không gian Tychonoff là cả Hausdorff chính quy và Hausdorff đầy đủ.
  • Chuẩn tắc(normal), nếu bất kỳ hai tập con đóng rời nhau của X là tách nhau bởi lân cận. Bổ đề Urysohn phát biểu rằng trong một không gian chuẩn tắc, bất kỳ hai tập con đóng rời nhau có thể tách nhau bởi một hàm liên tục.
  • Hausdorff chuẩn tắc hay T4 nếu nó là cả T1 và chuẩn tắc. Mọi không gian Hausdorff chuẩn tắc là cả Tychonoff và chuẩn tắc.
  • Hoàn toàn chuẩn tắc, nếu bất kỳ hai tập tách nhau là tách nhau bởi lân cận. Mọi không gian hoàn toàn chuẩn tắc cũng chuẩn tắc.
  • Hausdorff chuẩn tắc đầy đủ, T5 hay T4 đầy đủ, nếu nó là cả hoàn toàn chuẩn tắc và T1. Mọi không gian Hausdorff chuẩn tắc đầy đủ cũng là Hausdorff chuẩn tắc.
  • Chuẩn tắc hoàn hảo(perfectly normal), nếu bất kỳ hai tập đóng rời nhau là tách nhau chính xác bởi một hàm liên tục.Mọi không gian chuẩn tắc hoàn hảo cũng hoàn toàn chuẩn tắc.
  • Hausdorff chuẩn tắc hoàn hảo, T6 hay T4 hoàn hảo, nếu nó là cả chuẩn tắc hoàn hảo và T1. Mọi không gian Hausdorff chuẩn tắc hoàn hảo cũng là Hausdorff chuẩn tắc đầy đủ.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia)

Advertisements

Gửi phản hồi

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: