(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Phần trong(Interior), Phần ngoài(Exterior), Biên(Boundary)

  1. Phần trong

Phần trong của một tập con S của một không gian tôpô X là một tập bao gồm tất cả các điểm của S mà không thuộc biên của S. Rõ hơn,  x là một điểm phần trong của S nếu x được chứa trong một tập con mở của S(hoặc x là một điểm phần trong của S nếu có một lân cận của x chứa trong S).

Phần trong của S là bù của bao đóng của bù của S. Kí hiệu int(S), Int(S) hoặc S0.

Toán tử phần trong

 S0 = X \ (X \ S)‾

Các tính chất của phần trong

  • int(S) là một tập con mở của S
  • int(S) là hợp của tất cả các tập mở chứa trong S
  • int(S) là tập mở lớn nhất chứa trong S
  • Tập S là mở nếu và chỉ nếu S = int(S)
  • Int(int(S)) = int(S) (idempotence – bất biến)
  • Nếu S là một tập con của T thì int(S) là một tập con của int(T)
  • Nếu A là một tập mở thì A là tập con của S nếu và chỉ nếu A là một tập con của int(S)

 Các ví dụ về phần trong

  • Trong không gian tôpô ℝ chuẩn(tôpô Euclid, còn gọi là tôpô thường) int([0, 1]) = (0, 1)
  • Trong không gian tôpô ℝ chuẩn, phần trong của tập ℚ là rỗng vì nó không có tập con mở khác rỗng nào, mọi lân cận của một số hữu tỉ đều chứa số vô tỉ
  • Trong không gian tôpô ℝn chuẩn, phần trong của bất cứ tập hữu hạn nào đều rỗng
  • Trong mọi không gian tôpô tầm thường(trivial topology- là tôpô mà chỉ có các tập mở là tập rỗng và toàn bộ không gian) X, chúng ta có int(X) = X và int(A) = ∅ Ɐ A ⊊ X

Chú thích. trivial topology là tôpô tầm thường, cũng như các đối tượng trivial khác có cấu trúc rất đơn giản mà thường thuận tiện về khía cạnh lý thuyết trong định nghĩa và chứng minh, tính đẳng cấu, tính tổng quát hóa hay đầy đủ, như tập rỗng, không gian rỗng, nhóm tầm thường(chỉ có một phần tử là phần tử trung hòa), vành không {0}, nghiệm tầm thường, không gian vector không chiều.

  1. Phần ngoài

Phần ngoài của một tập S của một không gian tôpô X, biểu thị bởi ext(S) hoặc Ext(S), là phần trong int(X \ S) của bù của nó. Nó cũng có thể được định nghĩa như X \ S‾, là bù của bao đóng của S. Một số tính chất của phần ngoài như sau:

  • Ext(S) là một tập mở rời với S
  • Ext(S) là hợp của tất cả các tập mở rời với S
  • Ext(S) là tập mở lớn nhất rời với S
  • Nếu S là một tập con của T, thì ext(S) là một tập cha của ext(T)

Không giống như toán tử phần trong, ext không bất biến, tuy nhiên, ext(ext(S)) là một tập cha của int(S).

  1. Biên

Biên của một tập con S của một không gian tôpô X là tập các điểm mà có thể được tiếp cận cả từ bên trong và bên ngoài S. Chính xác hơn, nó là tập các điểm trong bao đóng của S nhưng không thuộc phần trong của S. Biên của S với toán tử biên được biểu thị bởi bd(S), fr(S) hoặc ∂S. Một tập S chỉ có biên mà không có phần trong, và chứa tất cả các điểm biên của nó được gọi là tập biên, khi đó ∂S = S.

Các định nghĩa biên của một tập con S của một không gian tôpô X dưới đây là tương đương:

  • Là bao đóng của S không tính phần trong của S: ∂S = S̅ \ S0
  • Là giao của bao đóng của S với bao đóng của bù của S: ∂S = S̅ ⋂ (X \ S)‾
  • Là bù của hợp của phần trong của S với phần ngoài của S: ∂S = X \ (int(S) ⋃ ext(S))
  • Là tập các điểm p của X mà mọi lân cận của p chứa ít nhất một điểm của S và ít nhất một điểm không của S

Các tính chất

  • Biên của một tập là đóng.

Chứng minh. Với một tập con S của một không gian tôpô X, chúng ta có int(S) và ext(S) là mở, suy ra int(S) ⋃ ext(S) là mở. Vậy ∂S = X \ (int(S) ⋃ ext(S)) là đóng.

  • Một tập là biên của một tập mở nào đó nếu và chỉ nếu nó đóng và không đâu trù mật.
  • Biên của một tập con S của một không gian tôpô X là biên của bù của S: ∂S = ∂(X \ S)
  • Một tập là đóng nếu và chỉ nếu nó chứa biên của nó, và mở nếu và chỉ nếu nó rời với biên của nó
  • Biên của một tập là rỗng nếu và chỉ nếu tập vừa đóng, vừa mở(clopen set)

Chứng minh. Nếu tập con S của một không gian tôpô X là mở thì int(S) =S. Nếu nó đóng thì cl(S) = S. ∂S = cl(S) \ int(S) = S \ S = Ø.

Nếu biên của S là rỗng thì cl(S) = S ⋃ ∂S = S ⋃ Ø = S ⟹ S là đóng. Int(S) = S \ ∂S = S \ Ø = S ⟹ S là mở.

Các ví dụ

  • ∂(0, 1) = ∂[0, 1) = ∂(0, 1] = ∂[0, 1] = {0, 1}
  • ∂Ø = Ø

Chứng minh. Vì Ø vừa đóng, vừa mở nên ∂Ø = Ø

  • ∂ℚ = ℝ

Chứng minh. ∂ℚ = cl(ℚ) \ int(ℚ) = ℝ \ Ø = ℝ

  • ∂(ℚ ⋂ [0, 1]) = [0, 1]
  • Trong không gian ℚ của các số hữu tỉ với tôpô thường, tập S := {x ϵ ℚ : x2 > 2 ∧ x > 0} có biên là rỗng

Chứng minh. S có thể được viết thành ℚ ⋂ (√2, ∞). Dễ thấy S là tập mở vì bất kỳ x ϵ S đều tìm được một lân cận của x chứa trong S. Mặt khác, S là đóng vì nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. √2 là điểm giới hạn của (√2, ∞) trong ℝ, nhưng nó là một số vô tỉ và không thuộc không gian ℚ, và không phải là điểm giới hạn của S. Hoặc có thể lập luận rằng bù của S là ℚ \ (ℚ ⋂ (√2, ∞)) = ℚ ⋂ (-∞, √2) là mở nên S là đóng. S vừa đóng, vừa mở nên biên của nó là rỗng.

(Bài viết này tham khảo một số nguồn trên Wikipedia)

Advertisements

Gửi phản hồi

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: