(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Điểm giới hạn(Limit point), Tập đóng(Closed set), Bao đóng(Closure), Tập trù mật(Dense set)

  1. Điểm giới hạn

Một điểm giới hạn của một tập S trong một không gian tôpô X là một điểm x trong X mà mọi lân cận của x đối với tôpô đó đều chứa(ít nhất) một điểm của S khác x. Nói khác đi, mọi lân cận U của x đều giao với S \ x, hay U \ x phải giao với S. Khái niệm này khái quát hóa khái niệm giới hạn của dãy.

Các ví dụ

  • Trong không gian của ℝ với tôpô thường, khoảng mở (a, b) có tập các điểm giới hạn là [a, b].
  • Trong một không gian tôpô tầm thường X, nếu S là một tập con của X với nhiều hơn một phần tử thì mọi phần tử của X đều là điểm giới hạn của S.

Chứng minh. Vì chỉ có một tập mở không rỗng duy nhất là X nên mọi điểm x trong X đều có duy nhất một lân cận là X. Do S có nhiều hơn một phần tử nên S \ x luôn giao với lân cận này. Vậy x là điểm giới hạn của S.

  • Trong một không gian tôpô rời rạc X, không một tập con nào của X có một điểm giới hạn.

Chứng minh. Vì X là rời rạc nên mọi điểm x của X là một tập mở, cũng là một lân cận U của x. Lân cận này không chứa điểm nào ngoài x, hay U \ x = Ø nên x không thể là điểm giới hạn của bất kỳ tập nào.

  1. Tập đóng

Tập đóng là tập chứa tất cả các điểm giới hạn của nó. Tập đóng còn có thể được định nghĩa là bù(complement) của tập mở.

Điều kiện “chứa tất cả các điểm giới hạn” chỉ là điều kiện cần và đủ để một tập S là đóng. Điều đó không có nghĩa là S chỉ chứa các điểm giới hạn của nó. Nó có thể có các điểm khác không phải là điểm giới hạn, đó là các điểm cô lập(isolated point), là những điểm x trong S mà tìm được một lân cận của x không chứa điểm nào khác của S ngoài chính điểm x.

Các tính chất của tập đóng

  • Giao bất kỳ của các tập đóng là đóng(bao gồm cả phép giao vô hạn)

Chứng minh. Chúng ta nhớ lại định luật De Morgan

(A ⋂ B)’ = A’ ⋃ B’

Phát biểu là: Bù của A giao với B bằng bù của A hợp với bù của B(kí hiệu A’ là bù của A thay cho kí hiệu A̅ để tránh lẫn với kí hiệu bao đóng).

Đẳng thức đó có thể mở rộng cho số tập bất kỳ, ví dụ chúng ta thêm một tập C

(A ⋂ B ⋂ C)’ = ((A ⋂ B) ⋂ C)’ = (A ⋂ B)’ ⋃ C’ = A’ ⋃ B’ ⋃ C’

Bù của các tập đóng là mở. Theo tiên đề thứ hai về cấu trúc tôpô thì hợp bất kỳ(bao gồm cả phép hợp vô hạn) của các tập bù này là tập mở. Vậy bù của tập mở kết quả này là đóng, đó chính là giao của các tập đóng.

  • Hợp hữu hạn của các tập đóng là đóng

Chứng minh tương tự như trên, sử dụng đẳng thức

(A ⋃ B)’ = A’ ⋂ B’

Chỉ khác là tiên đề thứ ba chỉ cho phép phép giao hữu hạn các tập mở nên phép hợp các tập đóng cũng hữu hạn.

Chú thích. Công thức mở rộng cho định luật De Morgan có thể được viết như sau:

diemgioihan1

Trong đó, (Ai)iϵI là một họ những tập con của X

  • Tập rỗng và toàn thể tập(toàn bộ không gian) là đóng. Điều này dễ thấy theo tiên đề thứ nhất về cấu trúc tôpô. Hai tập này là bù của nhau, chúng là các tập mở, do đó cũng đóng.
  • Một tập không có điểm giới hạn nào là tập đóng

Chứng minh. Gọi tập đó là A trong một không gian tôpô X. Lấy một điểm tùy ý x ϵ X \ A. Nếu x là điểm giới hạn của A thì mọi lân cận của nó giao với A. Nhưng A không có điểm giới hạn nào nên tìm được một lân cận của x không giao với A. Đây chính là điều kiện để tập X \ A là mở. Suy ra A là đóng.

Tập A không có điểm giới hạn nào nên suy ra tất cả các điểm y của A không phải là các điểm giới hạn. Vì y không phải là điểm giới hạn của A nên tìm được một lân cận của y không chứa điểm nào khác của A ngoài chính điểm y. Như vậy y là điểm cô lập của A, tập A là tập của các điểm cô lập. Vậy các điểm y của A là điểm trong(điểm phần trong) hay điểm biên của A?

Nếu tôpô của X là tôpô rời rạc thì mỗi điểm y là một tập mở, và A là một tập mở, các điểm y là các điểm trong của A. Mọi tập của tôpô rời rạc là tập vừa mở, vừa đóng.

Nếu mọi lân cận của y đều chứa ít nhất một điểm không phải của A thì y là điểm biên của A. Ví dụ trường hợp A là tập ℤ của các số nguyên trong ℝ với tôpô thường. ℤ không có điểm giới hạn và các số nguyên là các điểm cô lập của ℤ. Mọi lân cận của một số nguyên đều có chứa các số thực không là số nguyên, vì vậy ℤ là tập các điểm biên, là một tập biên.

Chú thích.” không giao với A” tương đương với “giao với A bằng rỗng”, và tương đương với “rời với A”(disjoint with A)

Các ví dụ

  • Khoảng đóng [a, b] của ℝ là đóng vì nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó là mọi điểm trong khoảng [a, b], bao gồm biên {a, b} và phần trong.
  • Tập [0, 1] ⋃ {2} là tập đóng trong ℝ với tôpô thường, vì nó là hợp của hai tập đóng. Tập đơn(singleton) {2} là một điểm cô lập của [0, 1] ⋃ {2}, và là tập đóng.

diemgioihan2

Điểm 2(màu tím) là điểm cô lập vì nó có một lân cận không chứa một điểm nào khác của [0, 1] ⋃ {2} ngoài chính nó. Các điểm 0 và 1(màu xanh) là các điểm biên vì mọi lân cận của chúng đều chứa điểm của tập và điểm không của tập. Điểm 2 cũng là điểm biên. Các điểm màu nâu thuộc phần trong, các điểm này luôn có một lân cận chứa trong (0, 1).

  • Tập [0, 1] ⋂ ℚ của số hữu tỉ đóng trong không gian ℚ, nhưng không đóng trong ℝ vì nó bị mất các điểm giới hạn vô tỉ.
  • Khoảng mở một nửa(half-open) [0, 1) trong ℝ không đóng, cũng không mở. Không đóng vì nó mất điểm biên phải(tập đơn {1}), cũng là một điểm giới hạn. Không mở vì nó có điểm biên trái, không tồn tại một lân cận nào của điểm này chứa trong tập.
  • Tia(ray) [0, ∞) trong ℝ là đóng, hiển nhiên vì nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.
  1. Bao đóng

Bao đóng của một tập con S trong một không gian tôpô X là tập đóng nhỏ nhất chứa S. Tập S là đóng khi và chỉ khi nó bằng với bao đóng của nó. Bao đóng của S cũng được định nghĩa là hợp của S với biên của nó.

Điểm x trong X là một điểm của bao đóng hay điểm hội viên(adherent point) của tập S nếu mọi lân cận của x đều chứa một điểm của S. Khác với điểm giới hạn, điểm chứa này không cần phải khác x, nó có thể là chính x.

Trong một không gian đếm được-thứ nhất(như không gian metric), bao đóng của một tập S là tập tất cả các giới hạn của tất cả các dãy của các điểm trong S mà hội tụ tới giới hạn đó.

Bao đóng là tập đóng, nhưng có thêm toán tử bao đóng. Bao đóng của S kí hiệu cl(S), Cl(S), S̅, hoặc S‾.

Một vài tính chất của bao đóng

  • cl(S) là tập cha đóng của S
  • cl(S) là giao của tất cả các tập đóng chứa S
  • Nếu S là một tập con của T thì cl(S) là tập con của cl(T)
  • Nếu A là một tập đóng thì A chứa S khi và chỉ khi A chứa cl(S)
  • Cl(Ø) = Ø

Chứng minh. Vì một tập đóng bằng với bao đóng của nó, mà Ø là đóng nên Cl(Ø) = Ø

 

  1. Tập trù mật

Cho A và B là hai tập trong một không gian tôpô X. A trù mật trong B nếu cl(A) ⊇ B. A được gọi là khắp nơi trù mật(everywhere dense) nếu cl(A) = X. Tập ℚ khắp nơi trù mật trong ℝ.

Một tập là khắp nơi trù mật nếu và chỉ nếu nó giao với bất kỳ tập mở khác rỗng.

Chứng minh. Gọi A là một tập là khắp nơi trù mật. Giả sử có một tập mở khác rỗng U không giao với A. Suy ra X \ U là một tập đóng chứa A, và cl(A) ⊆ X \ U ⊊ X = cl(A) ⇒ mâu thuẫn. Vậy A giao với mọi tập mở khác rỗng.

Bây giờ chúng ta chứng minh nếu A giao với bất kỳ tập mở khác rỗng thì A là khắp nơi trù mật. Đặt U = X \ cl(A). U là một tập mở không giao với A. A giao với bất kỳ tập mở khác rỗng nên U chỉ có thể là rỗng. X \ cl(A) = Ø ⇒ cl(A) = X.

Trong một không gian metric M, tập con A được gọi là trù mật trong M nếu cl(A) = M. Có thể nói A khắp nơi trù mật trong M.

Không đâu trù mật(nowhere dense)

Các định nghĩa tương đương của một tập không đâu trù mật trong một không gian tôpô X:

  • Tập A được gọi là không đâu trù mật trong X nếu bao đóng của A có phần trong rỗng: int(A̅) = Ø
  • Là một tập không trù mật trong mọi tập mở không rỗng.
  • Là một tập có phần ngoài khắp nơi trù mật.
  • Tập A là không đâu trù mật trong X nếu và chỉ nếu mọi lân cận của mỗi điểm x ϵ X chứa một điểm y mà bù của A chứa y cùng với một lân cận của y.

Các ví dụ

  • ℤ không đâu trù mật trong ℝ.

Chứng minh. ℤ là một tập biên trong ℝ, ∂ℤ = ℤ, là tập đóng nên cl(ℤ) = ℤ. Int(cl(ℤ)) = int(ℤ) = cl(ℤ) \ ∂ℤ = ℤ \ ℤ = Ø

  • S := {1/n : n ϵ ℕ+} không đâu trù mật trong ℝ.

Chứng minh. S không phải là tập biên, vì thiếu điểm biên {0}, cũng là điểm giới hạn của S. cl(S) = S ⋃ {0} là một tập biên và không có phần trong.

  • ℚ ⋂ [0, 1] không không đâu trù mật trong ℝ, nhưng cũng không khắp nơi trù mật trong ℝ. Nó trù mật trong [0, 1]. Phần trong của bao đóng của nó là int([0, 1]) = (0, 1) ≠ Ø

(Bài viết này tham khảo một số nguồn trên Wikipedia)

Advertisements

Gửi phản hồi

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

%d bloggers like this: