(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Không gian tôpô(Topological space)

Định nghĩa

  • Định nghĩa theo tập mở

Một không gian tôpô là một cặp có thứ tự (X, τ), trong đó X là một tập và τ là một họ các tập con của X, thỏa mãn những tiên đề dưới đây:

topspace

Các phần tử của τ được gọi là các tập mở và họ τ được gọi là một tôpô trên X.

Chú ý rằng giao vô hạn các tập mở không nhất thiết là mở. Ví dụ, trong ℝ với tôpô thường (là tô pô với các tập mở là những khoảng mở trên ℝ), giao của tất cả các khoảng mở có dạng (-1/n, 1) và (-1, 1/n) với n ϵ ℕ+, là tập {0}, là không mở.

  • Định nghĩa theo lân cận

Tiên đề này là do Felix Hausdorff. Cho X là một tập; các phần tử của X thường được gọi là các điểm, dù chúng có thể là bất kỳ đối tượng toán học nào. Chúng ta cho phép X là rỗng. Cho N là một hàm gán tới mỗi điểm x trong X một họ không rỗng N(x) các tập con của X. Các phần tử của N(x) được gọi là các lân cận của x đối với N (hoặc đơn giản là lân cận của x). Hàm N được gọi là một tôpô lân cận nếu các tiên đề dưới đây được thỏa; và sau đó X với N được gọi là một không gian tôpô.

1. Nếu N là một lân cận của x (đó là N ϵ N(x)), thì x ϵ N. Nói cách khác, mỗi điểm thuộc về mọi lân cận của nó.

2. Nếu N là một tập con của X và chứa một lân cận của x, thì N là một lân cận của x. Đó là, mọi tập cha của một lân cận của một điểm x trong X lại là một lân cận của x.

3. Giao của hai lân cận của x là một lân cận của x.

4. Bất kỳ lân cận N của x chứa một lân cận M của x sao cho N là một lân cận của mỗi điểm của M.

Ba tiền đề đầu tiên cho lân cận có nghĩa rõ ràng. Tiên đề thứ tư có một tác dụng quan trọng trong cấu trúc lý thuyết, đó là liên kết các lân cận của các điểm khác nhau của X.

Một ví dụ chuẩn của một hệ thống lân cận như thế là đối với đường thẳng thực ℝ, trong đó một tập con N của ℝ được định nghĩa là một lân cận của một số thực x nếu có một khoảng mở chứa x và chứa trong N.

Đưa ra một cấu trúc như thế, chúng ta có thể định nghĩa một tập con U của X là mở nếu U là một lân cận của tất cả các điểm trong U.

  • Định nghĩa theo tập đóng

Sử dụng định luật De Morgan, các tiên đề định nghĩa theo tập mở trở thành các tiên đề định nghĩa theo tập đóng:

1. Tập rỗng và X là đóng.

2. Giao của bất kỳ họ các tập đóng là đóng.

3. Hợp của một số hữu hạn bất kỳ các tập đóng là đóng.

Sử dụng các tiên đề này, các tập trong tôpô τ là các tập đóng, và bù của chúng trong X là các tập mở.

Bất kỳ tập nào cũng có thể được cho tôpô rời rạc trong đó mọi tập con là mở. Cũng vậy, bất kỳ tập nào cũng có thể được cho tôpô tầm thường trong đó chỉ có tập rỗng và toàn thể không gian là mở.

 

Lân cận(Neighbourhood)

Nếu X là một không gian tôpô và p là một điểm trong X, một lân cận của p là một tập con V của X mà bao hàm một tập mở U chứa p.

p ϵ U ⊆ V

Một lân cận không nhất thiết phải là mở. Tuy nhiên nếu nó là lân cận của mỗi điểm của nó thì nó là một tập mở. Một tập V được gọi là lân cận của một tập con S của X nếu V bao hàm một tập mở U chứa S. Suy ra rằng V là lân cận của S nếu và chỉ nếu nó là lân cận của tất cả các điểm trong S. Tương đương, V là lân cận của S nếu và chỉ nếu S là tập con của phần trong của V.

Lân cận trong không gian metric

Trong không gian metric X, một tập con V của X là một lân cận của một điểm p nếu tìm được một quả cầu mở tâm p chứa trong V.

Với r > 0, r-lân cận Sr của một tập S là tập của các điểm trong X mà có khoảng cách từ S nhỏ hơn r. Tương đương, Sr là hợp của tất cả các quả cầu mở bán kính r có tâm tại một điểm trong S:

topspace2

Không gian đếm được-thứ nhất(First-countable space), Không gian đếm được-thứ hai(Second-countable space), Hệ lân cận(Neighbourhood system), Cơ sở địa phương(Local basis, Neighbourhood basis)

Hệ lân cận

Hệ lân cận của một điểm x là họ tất cả các lân cận của điểm đó, biểu thị bởi 𝒱(x).

Cơ sở địa phương

Cơ sở địa phương hay cơ sở lân cận tại x, biểu thị bởi ℬ(x) là một họ con của hệ lân cận 𝒱(x) mà với mọi lân cận V của x, luôn tìm được một lân cận B ϵ ℬ(x) sao cho B ⊆ V.

Định nghĩa cơ sở địa phương khá lỏng. Bản thân hệ lân cận của một điểm cũng là một cơ sở địa phương tại điểm đó.

Trong một không gian X với tôpô tầm thường, mọi điểm x chỉ có một lân cận duy nhất là toàn bộ không gian, do đó 𝒱(x) = ℬ(x) = X.

Không gian đếm được-thứ nhất

Không gian đếm được-thứ nhất là không gian tôpô thỏa “tiên đề đếm được thứ nhất”. Cụ thể là, một không gian X được gọi là đếm được-thứ nhất nếu mỗi điểm có một cơ sở lân cận đếm được. Đó là, với mỗi điểm x trong X tồn tại một dãy N1, N1, … của các lân cận của x sao cho với một lân cận N bất kỳ của x tồn tại một số nguyên i với Ni chứa trong N. Vì mọi lân cận của bất kỳ điểm nào cũng chứa một lân cận mở của điểm đó nên cơ sở lân cận có thể được chọn mà không mất tính tổng quát để bao gồm các lân cận mở.

Mọi không gian metric là đếm được-thứ nhất. Tập các quả cầu mở tâm x, bán kính 1/n với n là các số nguyên dương, sinh ra cơ sở địa phương đếm được tại x. Chúng ta có

ℬ(x) = { ℬ(x; 1/n) : n ϵ ℕ+}

Không gian đếm được-thứ hai

Không gian đếm được-thứ hai hay không gian khả li hoàn toàn, là không gian tôpô thỏa “tiên đề đếm được thứ hai”. Một không gian được gọi là đếm được-thứ hai nếu tôpô của nó có cơ sở đếm được.

Như các tiên đề đếm được khác, tính chất đếm được-thứ hai hạn chế số tập mở mà không gian có thể có để đạt được lợi ích là đếm được. Không gian Euclid ℝn với tôpô thường, là đếm được-thứ hai. Mặc dù các quả cầu mở bình thường là cơ sở không đếm được, người ta có thể hạn chế tập các quả cầu mở bằng cách chỉ lấy các quả cầu với tâm có tọa độ hữu tỉ, bán kính hữu tỉ, như thế sinh ra cơ sở đếm được.

Cơ sở đếm được bao hàm cơ sở địa phương đếm được, vì tại mỗi điểm x, tập tất cả các tập cơ sở chứa x sinh ra một cơ sở địa phương tại x. Do đó mọi không gian đếm được-thứ hai cũng là đếm được-thứ nhất.

Mọi không gian đếm được-thứ hai là khả li và Lindelöf. Nhưng đảo lại thì không chắc. Tuy nhiên đối với không gian metric thì khả li, Lindelöf và đếm được-thứ hai là tương đương.

 

Phép đồng phôi(Homeomorphism)

Ánh xạ liên tục

Một hàm f: X → Y giữa các không gian tôpô được gọi là liên tục nếu với mọi x ϵ X và mọi lân cận N của f(x) có một lân cận M của x mà f(M) ⊆ N. Tương đương, f là liên tục nếu với mọi tập mở V ⊆ Y, ảnh ngược

f-1(V) = {x ϵ X : f(x) ϵ V}

là một tập con mở của X. Hàm liên tục theo trực quan là không có “bước nhảy” hay “gián đoạn”.

Một phép đồng phôi là một song ánh liên tục mà ánh xạ ngược của nó cũng liên tục. Những phép đồng phôi là những phép đẳng cấu(isomorphism) trong thể loại không gian tôpô(category of topological spaces, Top), đó là, chúng bảo toàn tất cả các tính chất tôpô cho một không gian nhất định. Hai không gian với một phép đồng phôi giữa chúng được gọi là đồng phôi, và theo quan điểm tôpô chúng là như nhau.

Nói đại khái là, một không gian tôpô như một đối tượng hình học và phép đồng phôi là động tác kéo và xoắn liên tục đối tượng đó để cho ra một hình dạng mới. Như vậy, hình vuông và hình tròn là đồng phôi, nhưng hình cầu và hình xuyến thì không.

Một phép tự đồng phôi(self- homeomorphism) là một phép đồng phôi của một không gian tôpô với chính nó. Các phép đồng phôi sinh ra một quan hệ tương đương trên lớp của tất cả các không gian tôpô. Các lớp tương đương này được gọi là các lớp tương đương đồng phôi.

Tôpô tự nhiên

Một không gian có một tôpô tự nhiên nếu có một tôpô trên không gian mà “thích hợp nhất” cho nghiên cứu trong phạm vi quan tâm. Trong nhiều trường hợp định nghĩa thiếu chính xác này có nghĩa hơn là khẳng định tôpô đang đề cập phát sinh tự nhiên hay kinh điển trong ngữ cảnh nhất định.

Chú ý rằng trong một số trường hợp nhiều tôpô vẻ như “tự nhiên”. Ví dụ, nếu Y là một tập con của một tập được sắp thứ tự toàn phần X, thì là tôpô thứ tự cảm sinh, đó là tôpô thứ tự của tập được sắp thứ tự toàn phần Y, trong đó quan hệ này được kế thừa từ X, là thô hơn tôpô không gian con của tôpô thứ tự trên X.

“Tôpô tự nhiên” khá thường xuyên có một ý nghĩa cụ thể hơn, ít nhất là cũng đưa ra trước thông tin ngữ cảnh nhất định: tôpô tự nhiên là một tôpô mà làm cho một ánh xạ tự nhiên hoặc một họ ánh xạ là liên tục. Điều này vẫn chưa chính xác, kể cả khi người ta đã chỉ ra ánh xạ tự nhiên là gì, bởi vì có thể có nhiều tôpô với yêu cầu đặt ra. Tuy nhiên, thường có tôpô mịn nhất hoặc thô nhất mà làm cho ánh xạ nhất định là liên tục, đó là các ứng viên rõ nét cho tôpô tự nhiên.

Các trường hợp đơn giản nhất(tuy nhiên lại bao phủ nhiều ví dụ) là tôpô đầu và tôpô cuối (Willard (1970)). Tôpô đầu là tôpô thô nhất trên một không gian X mà làm cho một họ ánh xạ nhất định từ X tới các không gian tôpô Xi là liên tục. Tôpô cuối là tôpô mịn nhất trên một không gian X mà làm cho một họ ánh xạ nhất định từ các không gian tôpô Xi tới X là liên tục.

Hai ví dụ đơn giản nhất là tôpô tự nhiên của không gian con và không gian thương.

  • Tôpô tự nhiên trên một tập con của một không gian tôpô là tôpô không gian con. Đây là tôpô thô nhất mà làm cho ánh xạ bao hàm là liên tục.
  • Tôpô tự nhiên trên một thương của một không gian tôpô là tôpô thương. Đây là tôpô mịn nhất mà làm cho ánh xạ thương là liên tục.

Không gian Baire

Một không gian Baire là một không gian tôpô trong đó hợp của mọi họ đếm được các tập đóng với phần trong rỗng có phần trong rỗng.

Định nghĩa trên tương đương với mỗi điều kiện dưới đây, với không gian tôpô X:

  • Mọi giao của một số đếm được các tập mở trù mật là trù mật.
  • Phần trong của mọi hợp của một số đếm được các tập không đâu trù mật đóng là rỗng.
  • Hễ khi nào hợp của một số đếm được các tập con đóng của X có một điểm phần trong, thì một trong những tập con đóng đó phải có một điểm phần trong.

(Bài viết này tham khảo một số nguồn trên Wikipedia)

Advertisements

Gửi phản hồi

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

%d bloggers like this: