(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Không gian metric khả li(Separable metric space)

Một không gian metric là khả li nếu nó có một tập con trù mật đếm được. Đối với không gian metric, khả li là tương đương với đếm được-thứ hai.

Chứng minh. Mọi không gian đếm được-thứ hai là khả li, do đó cũng đúng với không gian metric, chứng minh điều này là đơn giản. Chúng ta chứng minh chiều ngược lại, không gian metric khả li là đếm được-thứ hai.

Gọi A là tập con trù mật của không gian metric khả li M. Vì M khả li nên A là tập đếm được. Cho U là một tập con mở bất kỳ của M với x là một điểm tùy ý trong U. U là mở nên tìm được một quả cầu mở ℬr(x) ⊆ U, trong đó r là một số thực dương. Chọn q ϵ ℚ sao cho 0 < 2q < r, chúng ta có quả cầu mở ℬ2q(x) ⊆ ℬr(x) ⊆ U.

Xét quả cầu mở ℬq(x). Tập A là khắp nơi trù mật nên nó giao với mọi tập mở không rỗng, do đó giao với ℬq(x). Chúng ta tìm được điểm y ϵ A ⋂ ℬq(x), và có quả cầu mở ℬq(y).

metrickhali1

y ϵ ℬq(x) ⇒ d(y, x) = d(x, y) < q ⇒ x ϵ ℬq(y). Ở đây sử dụng tiên đề 3 của không gian metric.

Với mọi z ϵ ℬq(y), áp dụng bất đẳng thức tam giác của không gian metric(tiên đề 4), chúng ta có

d(z, x) ≤ d(z, y) + d((y, x) < q + q = 2q ⇒ z ϵ ℬ2q(x) ⇒ ℬq(y) ⊆ ℬ2q(x) ⊆ U.

Như vậy, với mọi x trong một tập mở U luôn tìm được một quả cầu mở ℬq(y) chứa x và chứa trong U. Quả cầu này có tâm là một điểm y của tập trù mật A với bán kính là một số hữu tỉ q.

Họ các quả cầu mở trong M,

B := { ℬq(y) : y ϵ A, q ϵ ℚ+}

đủ điều kiện là cơ sở cho một tôpô của không gian M. Các tập A và ℚ+ đều đếm được, và tích Đề các(Cartesian product) của hai tập đếm được là đếm được, do đó B là cơ sở đếm được.

Ví dụ điển hình là không gian ℝ(cũng như không gian Euclid bất kỳ). Tập ℚ trù mật trong ℝ và đếm được. Nếu định nghĩa các quả cầu mở với bán kính hữu tỉ và tâm có các tọa độ hữu tỉ thì chúng ta có cơ sở đếm được cho các không gian Euclid ℝn.

Đối với không gian metric, khả li cũng tương đương với tính chất Lindelöf.

Advertisements

Gửi phản hồi

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: