(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Không gian liên thông(Connected space)

Trong tôpô và các bộ phận liên quan của toán học, một không gian liên thông là một không gian tôpô mà không thể biểu diễn như hợp của hai hay nhiều tập con mở không rỗng rời nhau. Liên thông là một trong những tính chất tôpô mang tính nguyên tắc để phân biệt các không gian tôpô. Một khái niệm mạnh hơn là không gian liên thông-kênh, là không gian trong đó bất kỳ hai điểm có thể được nối với nhau bởi một kênh.

Một tập con của một không gian tôpô X là một tập liên thông nếu nó là một không gian liên thông khi được xem như một không gian con của X.

Một ví dụ về một không gian không liên thông là một mặt phẳng có một đường thẳng(đường vô hạn) bị xóa. Các ví dụ khác về các không gian không liên thông là một mặt phẳng với một hình khuyên hay đường tròn bị bỏ đi, cũng như hợp của hai đĩa đóng rời nhau, trong đó tât cả các ví dụ trong đoạn này là tôpô không gian con cảm sinh từ không gian Euclid hai chiều.

Định nghĩa

Một không gian tôpô X được nói là không liên thông nếu nó là hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau. Nếu không, X được nói là liên thông. Một tập con của một không gian tôpô được nói là liên thông nếu nó là liên thông dưới tôpô không gian con của nó.

Với một không gian tôpô X, các điều kiện dưới đây là tương đương:

  1. X là liên thông, đó là, nó không thể được chia thành hai tập mở không rỗng rời nhau.
  2. X không thể được chia thành hai tập đóng không rỗng rời nhau.
  3. Các tập con duy nhất của X mà là cả mở và đóng(clopen set) là X và tập rỗng.
  4. Các tập con duy nhất của X với biên rỗng là X và tập rỗng.
  5. X không thể được viết như hợp của hai tập tách nhau không rỗng(hai tập tách nhau là hai tập mà mỗi tập là rời với bao đóng của tập kia).
  6. Tất cả các hàm từ X tới {0, 1} là hằng, trong đó {0, 1} là không gian hai-điểm với tôpô rời rạc.

Thành phần liên thông

Các tập con liên thông cực đại (sắp theo quan hệ bao hàm) của một không gian tôpô không rỗng được gọi là các thành phần liên thông của không gian. Các thành phần liên thông của bất kỳ không gian tôpô X tạo thành một phân hoạch của X: chúng là rời nhau, không rỗng, và hợp của chúng là toàn bộ không gian. Mọi thành phần liên thông là một tập con đóng của không gian gốc. Điều đó dẫn đến trong trường hợp số thành phần liên thông là hữu hạn thì mỗi thành phần liên thông cũng là một tập con mở. Tuy nhiên, nếu số thành phần liên thông là vô hạn thì chưa chắc; ví dụ, các thành phần liên thông của tập các số hữu tỉ là các tập một-điểm(one-point set, singleton), là không mở.

Cho Γx là thành phần liên thông của x trong một không gian tôpô X, và Ψx là giao của tất cả các tập clopen chứa x(gọi là thành phần bán-liên thông của x) thì Γx ⊆ Ψx trong đó chúng bằng nhau nếu X là Hausdorff compact hoặc liên thông địa phương.

Các không gian không liên thông

Một không gian trong đó tất cả các thành phần liên thông là các tập một-điểm được gọi là không liên thông toàn phần. Liên quan tới tính chất này, một không gian X được gọi là tách toàn phần nếu, với hai điểm phân biệt bất kỳ x và y của X, tìm được các lân cận mở U của x và V của Y, U và V rời nhau, sao cho X là hợp của U và V. Rõ ràng không gian tách toàn phần là không liên thông toàn phần, nhưng ngược lại không đúng. Ví dụ lấy hai bản sao của ℚ, và dán mọi điểm với nhau trừ điểm 0. Không gian kết quả, với tôpô thương, là không liên thông toàn phần. Tuy nhiên, xem xét hai bản sao của 0, người ta thấy rằng không gian không tách toàn phần. Thực tế, nó thậm chí không Hausdorff, và điều kiện tách toàn phần mạnh hơn hẳn điều kiện Hausdorff.

Liên thông kênh(Path connectedness)

Một kênh từ một điểm x tới một điểm y trong một không gian tôpô X là một hàm liên tục f từ khoảng đơn vị [0, 1] tới X với f(0) = x và f(1) = y. Một thành phần liên thông-kênh của X là một lớp tương đương của X dưới quan hệ tương đương mà làm cho x tương đương với y nếu có một kênh từ x tới y. Không gian X được nói là liên thông-kênh nếu có chính xác một thành phần liên thông-kênh, đó là có kênh nối bất kỳ hai điểm nào trong X.

Mọi không gian liên thông-kênh là liên thông. Ngược lại không luôn đúng: các ví dụ về các không gian liên thông mà không liên thông-kênh bao gồm đường thẳng dài mở rộng L* (extended long line) và đường cong hình sin của nhà tôpô học hay đường cong hình sin tôpô (topologist’s sine curve).

Tuy nhiên, các tập con của đường thẳng thực ℝ là liên thông nếu và chỉ nếu chúng là liên thông-kênh; các tập con này là các khoảng trong ℝ. Cũng vậy, các tập con mở của ℝn và ℂn là liên thông nếu và chỉ nếu chúng là liên thông-kênh. Ngoài ra, liên thông và liên thông-kênh là như nhau đối với các không gian tôpô hữu hạn.

Liên thông đơn giản

Một không gian tôpô được nói là liên thông-đơn giản nếu nó là liên thông-kênh và mọi kênh giữa hai điểm có thể được biến đổi liên tục, trong phạm vi không gian, thành bất kỳ kênh khác trong khi giữ nguyên hai đầu mút. Không gian liên thông-đơngiản hiểu theo nghĩa nhất định, là không có “lỗ”.

warning_32Một số tài liệu trong nước đã nhầm lẫn liên thông-kênh với liên thông-cung.

Liên thông cung(Arc connectedness)

Một không gian X được nói là liên thông-cung nếu bất kỳ hai điểm khác nhau có thể được nối bởi một cung, đó là một kênh f mà là một phép đồng phôi giữa khoảng đơn vị [0, 1] với ảnh của nó f([0, 1]). Có thể thấy bất kỳ không gian Hausdorff mà liên thông-kênh cũng liên thông-cung. Một ví dụ về không gian liên thông-kênh nhưng không liên thông-cung được cung cấp bởi thêm một bản sao thứ hai 0’ của 0 tới các số thực không âm [0, ∞). Rồi người ta phú cho tập này tôpô thứ tự, đó là người ta lấy các khoảng mở (a, b) = {x : a < x < b}, các khoảng mở-một nửa [0, a) = {x : 0 ≤ x < a}, [0’, a) = {x : 0’ ≤ x < a}, và tia mở (a, ∞) = {x : x > a} như một cơ sở cho tôpô. Không gian kết quả là một không gian T1 nhưng không phải là Hausdorff. Rõ ràng 0 và 0’ có thể được nối bởi một kênh nhưng không bởi một cung trong không gian này.

Liên thông địa phương

Một không gian được nói là liên thông địa phương tại một điểm x nếu mọi lân cận của x chứa một lân cận mở liên thông. Nó là liên thông địa phương nếu nó có một cơ sở của các tập liên thông. Có thể thấy rằng một không gian X là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu mọi thành phần liên thông của mọi tập mở của X là mở. Đường cong hình sin tôpô là một ví dụ về một không gian liên thông mà không liên thông địa phương.

Tương tự, một không gian tôpô được nói là liên thông-kênh địa phương nếu nó có một cơ sở của các tập liên thông-kênh. Một tập con mở của một không gian liên thông-kênh địa phương là liên thông nếu và chỉ nếu nó là liên thông-kênh. Điều này tổng quát hóa phát biểu trước về ℝn và ℂn, mỗi không gian này đều là liên thông-kênh địa phương. Hơn nữa, bất kỳ manifold tôpô là liên thông-kênh địa phương.

Các định lý

  • Cho X và Y là các không gian tôpô và f : XY là một hàm liên tục. Nếu X là liên thông(-kênh) thì ảnh f(X) là liên thông(-kênh). Kết quả này có thể coi như một tổng quát hóa của định lý giá trị trung gian(chú ý không nhầm với định lý giá trị trung bình).
  • Mọi không gian liên thông-kênh là liên thông.
  • Mọi không gian liên thông-kênh địa phương là liên thông địa phương.
  • Một không gian liên thông-kênh địa phương là liên thông-kênh nếu và chỉ nếu nó là liên thông.
  • Bao đóng của một tập con liên thông là liên thông.
  • Các thành phần liên thông luôn đóng(nhưng nói chung không mở).
  • Các thành phần liên thông của một không gian liên thông địa phương là mở.
  • Các thành phần liên thông của một không gian là các hợp rời nhau của các thành phần liên thông-kênh(những tập nói chung không mở cũng không đóng).
  • Mọi thương của một không gian liên thông(tương ứng, liên thông địa phương, liên thông-kênh, liên thông-kênh địa phương) là liên thông(tương ứng, liên thông địa phương, liên thông-kênh, liên thông-kênh địa phương).
  • Mọi tích của một họ các không gian liên thông(tương ứng, liên thông-kênh) là liên thông(tương ứng, liên thông-kênh).
  • Mọi tập con mở của một không gian liên thông địa phương(tương ứng, liên thông-kênh địa phương) là liên thông địa phương(tương ứng, liên thông-kênh địa phương).
  • Mọi manifold là liên thông-kênh địa phương.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia, trong đó có sự chọn lọc và bổ sung)

 

Advertisements

Gửi phản hồi

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

%d bloggers like this: