(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Tôpô không gian con(Subspace topology)

Trong tôpô và các bộ phận liên quan của toán học, một không gian con của một không gian tôpô X là một tập con S của X mà được trang bị một tôpô cảm sinh từ tôpô của X gọi là tôpô không gian con.

Định nghĩa

Cho một không gian tôpô (X, τ) và một tập con S của X, tôpô không gian con trên S được định nghĩa bởi

τS = {S ⋂ U : U ϵ τ}

Đó là, một tập con của S là mở trong tôpô không gian con nếu và chỉ nếu nó là giao của S với một tập mở trong (X, τ). Nếu S được trang bị tôpô không gian con thì nó là một không gian tôpô trong cách riêng của nó, và được gọi là một không gian con của (X, τ). Các tập con của các không gian tôpô thường được giả định rằng được gắn với tôpô không gian con trừ khi có qui định khác.

Như một sự lựa chọn, chúng ta có thể định nghĩa tôpô không gian con cho một tập con S của X như là tôpô thô nhất mà làm cho ánh xạ bao hàm

khong giancon2

là liên tục. Ánh xạ bao hàm còn được gọi là đơn ánh chính tắc: ι(x) = x.

Tổng quát hơn, cho rằng ι là một đơn ánh từ một tập S tới một không gian tôpô X. Thì tôpô không gian con trên S được định nghĩa là tôpô thô nhất sao cho ι là liên tục. Các tập mở trong tôpô này chính xác là những tập có dạng ι-1(U) với U mở trong X. Rồi S là đồng phôi với ảnh của nó trong X và ι được gọi là một phép nhúng tôpô.

Một không gian con S được gọi là một không gian con mở nếu đơn ánh ι là một ánh xạ mở, đó là, nếu ảnh xuôi của một tập mở của S là mở trong X. Tương tự, nó là một không gian con đóng nếu đơn ánh ι là một ánh xạ đóng.

Thuật ngữ

Phân biệt giữa một tập và một không gian tôpô thường được làm mờ đi để cho tiện, nhưng dễ gây nhầm lẫn khi chúng ta mới làm quen với những định nghĩa này. Hễ khi S là một tập con của X, và (X, τ) là một không gian tôpô, thì các kí hiệu chỉ ghi là S và X có thể thường được sử dụng để tham chiếu đến hoặc S và X là hai tập, hoặc (S, τS) và (X, τ) là các không gian tôpô, tùy theo ngữ cảnh.

Các ví dụ

Trong các ví dụ dưới đây, ℝ được mặc định với tôpô thường.

  • Tôpô không gian con của các số tự nhiên, như một không gian con của ℝ, là tôpô rời rạc.
  • ℚ xem như một không gian con của ℝ không có tôpô rời rạc. Nếu a và b là các số hữu tỉ thì các khoảng (a, b) và [a, b] tương ứng là mở và đóng. Nhưng nếu a và b là các số vô tỉ thì tập {x : a < x < b} là cả mở và đóng (clopen).
  • Tập [0, 1] như một không gian con của ℝ là cả mở và đóng, trong khi như một tập con của ℝ thì nó chỉ đóng.
  • Như một không gian con của ℝ, [0, 1] ⋃ [2, 3] được soạn từ hai tập con mở rời nhau (cũng là những tập đóng), là một không gian không liên thông.
  • Cho S = [0, 1) là một không gian con của ℝ. Thì [0, ½) là mở trong S nhưng không mở trong ℝ. Tương tự, [½, 1) là đóng trong S nhưng không đóng trong ℝ. S là cả mở và đóng như một tập con của chính nó nhưng không như vậy khi như một tập con của ℝ (S không mở cũng không đóng trong ℝ).

Các tính chất

Tôpô không gian con có tính chất đặc trưng sau đây. Cho Y là một không gian con của X và i : YX là ánh xạ bao hàm. Thì với bất kỳ không gian tôpô Z một ánh xạ f : Z Y là liên tục nếu và chỉ nếu ánh xạ hợp i f là liên tục.

khong gian con

Tính chất này có ý nghĩa là nó có thể được dùng để định nghĩa tôpô không gian con trên Y.

Chúng ta nêu một số tính chất nữa của tôpô không gian con. Dưới đây, S là một không gian con của X.

  • Nếu f : X Y là liên tục thì hạn chế tới S (f|S) là liên tục.
  • Nếu f : X Y là liên tục thì f : X f(X) là liên tục.
  • Các tập đóng trong S chính xác là giao của S với các tập đóng trong X.
  • Nếu A là một không gian con của S thì A cũng là một không gian con của X với cùng tôpô. Nói cách khác, tôpô không gian con mà A kế thừa từ S là giống như nó kế thừa từ X.
  • Cho rằng S là một không gian con mở của X (cho nên S ϵ τ). Thì một tập con của S là mở trong S nếu và chỉ nếu nó là mở trong X.
  • Cho rằng S là một không gian con đóng của X (cho nên X \ S ϵ τ). Thì một tập con của S là đóng trong S nếu và chỉ nếu nó là đóng trong X.
  • Nếu B là một cơ sở cho X thì BS = {U ⋂ S : U ϵ B} là một cơ sở cho S.
  • Tôpô cảm sinh trên một tập con của một không gian metric bởi hạn chế metric đó tới tập con này đồng nghĩa với tôpô không gian con cho tập con này.

Bảo toàn các tính chất tôpô

Nếu một không gian tôpô có một số tính chất tôpô kéo theo các không gian con của nó cũng có tính chất đó, thì chúng ta nói tính chất đó là di truyền. Nếu chỉ các không gian con đóng mới chia sẻ tính chất đó thì chúng ta gọi tính chất đó là di truyền yếu.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia)

 

Advertisements

Gửi phản hồi

%d bloggers like this: