(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Cơ sở(Base, basis)

Một cơ sở B của một không gian tôpô X với tôpô T là một họ các tập mở trong T mà mọi tập mở trong T có thể được viết như hợp các phần tử của B. Chúng ta nói rằng cơ sở B sinh ra tôpô T. Cơ sở là hữu ích bởi vì nhiều tính chất của tôpô có thể qui về chỉ xem xét cơ sở sinh ra tôpô đó, và bởi vì nhiều tôpô được xác định dễ dàng nhất dựa trên cơ sở sinh ra chúng.

Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Một cơ sở là một họ B các tập con của X thỏa hai điều kiện sau:

  1. Các phần tử cơ sở phủ X.
  2. Cho B1, B2 là các phần tử cơ sở và cho I là giao của chúng, thì với mỗi x trong I, có một phần tử cơ sở B3 chứa x và chứa trong I.

Nếu một họ B các tập con của X không thỏa một trong các điều kiện trên thì nó không phải là cơ sở cho tôpô nào trên X(tuy nhiên, nó là một tiền cơ sở, như bất kỳ họ các tập con của X). Ngược lại, nếu B thỏa cả hai điều kiện, thì có một tôpô duy nhất trên X do B sinh ra. Tôpô đó được gọi là tôpô sinh ra bởi B. (Tôpô này là giao của tất cả các tôpô trên X chứa B.) Đây là cách rất phổ biến để định nghĩa tôpô. Một điều kiện đủ nhưng không cần để B sinh ra một tôpô trên X là B sát dưới các phép giao, rồi chúng ta có thể lấy luôn B3 = I kể trên.

Ví dụ, họ tất cả các khoảng mở trong ℝ sinh ra một cơ sở cho một tôpô trên ℝ bởi vì giao của bất kỳ hai khoảng mở cũng chính là một khoảng mở hoặc là rỗng. Tôpô này được gọi là tôpô chuẩn trên ℝ.

Tuy nhiên, cơ sở không phải là duy nhất. Nhiều cơ sở, thậm chí có cỡ khác nhau, có thể sinh ra cùng một tôpô. Ví dụ, các khoảng mở với các đầu mút hữu tỉ cũng là một cơ sở cho tôpô chuẩn trên ℝ, giống như các khoảng mở với các đầu mút vô tỉ, nhưng hai tập này rõ ràng là không trùng nhau và cả hai cùng chứa thực sự trong cơ sở của tất cả các khoảng mở. Tương phản với cơ sở của không gian vectơ trong đại số tuyến tính, một cơ sở không cần phải cực đại, quả thực, cơ sở cực đại duy nhất là chính tôpô. Thực tế, bất kỳ tập mở sinh ra bởi một cơ sở có thể được an toàn thêm vào cơ sở mà không làm thay đổi tôpô. Cỡ(lực lượng) có thể có nhỏ nhất của một cơ sở được gọi là trọng lượng(weight) của không gian tôpô.

Một ví dụ về một họ các tập mở mà không phải là cơ sở, là tập S của tất cả các khoảng vô hạn bán phần dạng (-∞, a) và (a, ∞), với a là một số thực. Thì S không phải là cơ sở cho tôpô nào trên ℝ. Đó là bởi vì giả sử có một tôpô như thế thì chẳng hạn các khoảng (-∞, 1) và (0, ∞) có giao là (0, 1) cũng phải thuộc về tôpô đó. Nhưng rõ ràng (0, 1) không thể là hợp của các phần tử của S. Hoặc là lập luận theo định nghĩa về các điều kiện ở trên thì điều kiện 2 không thỏa, vì không có phần tử cơ sở nào có thể “vừa” bên trong tập giao này.

Với một cơ sở cho một tôpô nhất định, để chứng minh sự hội tụ của một lưới hoặc dãy, nó là đủ để chứng minh rằng lưới hoặc dãy đó rốt cuộc trong mọi tập trong cơ sở mà chứa giới hạn giả định.

Các đối tượng định nghĩa trong thuật ngữ cơ sở

  • Tôpô thứ tự(là tôpô khái quát hóa tôpô chuẩn trên ℝ, áp dụng cho mọi tập có thứ tự toàn phần, không chỉ ℝ) thường được định nghĩa như tôpô sinh ra bởi họ các tập kiểu-khoảng-mở.
  • Tôpô metric thường được định nghĩa như tôpô sinh ra bởi họ các quả cầu mở.
  • Không gian đếm được-thứ hai là không gian có cơ sở đếm được.
  • Tôpô rời rạc có các tập đơn(singleton) như một cơ sở.
  • Tôpô nhóm hữu hạn(profinite topology) trên một nhóm được định nghĩa bằng cách lấy họ tất cả các nhóm con chuẩn tắc có chỉ số hữu hạn như một cơ sở của các lân cận mở của phần tử trung hòa.

Các định lý

  • Một họ B của các tập mở là một cơ sở cho một tôpô nếu và chỉ nếu với mọi tập mở U và với mọi điểm x ϵ U, tìm được một tập V ϵ B sao cho x ϵ V ⊆ U.

Chứng minh.

a)Vì B là cơ sở nên U là một hợp các phần tử nào đó của B. Mỗi điểm x ϵ U ít nhất được chứa trong một trong các phần tử này của B, gọi phần tử đó là V. Rõ ràng x ϵ V ⊆ U.

b)Để chứng minh B là một cơ sở tôpô, chúng ta chứng minh một tập mở U bất kỳ là hợp của các phần tử của B. Giả thiết là với mỗi điểm x ϵ U, chúng ta tìm được một tập Vx ϵ B sao cho x ϵ Vx ⊆ U. Xét hợp ⋃xϵUVx . Chúng ta có ⋃xϵUVx ⊆ U. Mặt khác, mọi điểm x ϵ U được chứa trong Vx của nó, do đó cũng trong hợp ⋃xϵUVx, suy ra U ⊆ ⋃xϵUVx. Như vậy U = ⋃xϵUVx.

  • Tôpô T2 là mịn hơn tôpô T1 nếu và chỉ nếu với mỗi x và mỗi phần tử cơ sở B của T1 chứa x, có một phần tử cơ sở của T2 chứa x và chứa trong B.
  • Nếu B1, B2, …, Bn là cơ sở cho các tôpô T1, T2, …, Tn, thì tích B1 x B2 x … x Bn là cơ sở cho tôpô tích T1 x T2.. x Tn. Trong trường hợp tích vô hạn, điều này vẫn áp dụng với điều kiện là một số hữu hạn các phần tử cơ sở phải là toàn thể không gian.
  • Cho B là một cơ sở của X và cho Y là một không gian con của X. Thì nếu chúng ta giao mỗi phần tử của B với Y, họ của các tập kết quả là một cơ sở cho không gian con Y.
  • Nếu một hàm f : X → Y ánh xạ mỗi phần tử cơ sở của X tới một tập mở của Y, nó là một ánh xạ mở. Tương tự, nếu mỗi tiền ảnh(preimage) của một phần tử cơ sở của Y là mở trong X, thì f là liên tục.
  • Một họ các tập con của X là một tôpô trên X nếu và chỉ nếu nó sinh ra chính nó.
  • B là một cơ sở cho một không gian tôpô X nếu và chỉ nếu họ con các phần tử của B mà chứa x tạo thành một cơ sở địa phương tại x, với mọi x trong X.

Cơ sở cho các tập đóng

Các tập đóng có vai trò không kém trong việc mô tả tôpô của một không gian. Vì thế có một khái niệm kép về cơ sở dành cho các tập đóng của một không gian tôpô. Với một không gian tôpô X, một họ F của các tập đóng tạo ra một cơ sở cho các tập đóng nếu và chỉ nếu với mỗi tập đóng A và mỗi điểm x không thuộc A tìm được một phần tử của F chứa A nhưng không chứa x.

Dễ thấy rằng F là một cơ sở cho các tập đóng của X nếu và chỉ nếu họ các bù của các phần tử của F là một cơ sở cho các tập mở của X.

Cho F là một cơ sở cho các tập đóng của X, thì

  1. ⋂F = Ø
  2. Với mỗi F1 và F2 trong F, hợp F1 ⋃ F2 là giao của một họ con nào đó của F (đó là, với bất kỳ x không thuộc F1 và F2, có một F3 trong F chứa F1 ⋃ F2 và không chứa x).

Bất kỳ họ các tập con của X thỏa những điều kiện này tạo thành một cơ sở cho các tập đóng của một tôpô trên X. Các tập đóng của tôpô này chính xác là các giao của các thành viên của F.

Trong một vài trường hợp, sử dụng cơ sở cho các tập đóng là thuận tiện hơn đối với các tập mở. Ví dụ, một không gian hoàn toàn chính quy nếu và chỉ nếu các tập không(zero set, tập không của một hàm f là tập con f-1(0) của X, là ảnh ngược của {0}) tạo ra một cơ sở cho các tập đóng. Với bất kỳ không gian tôpô X, các tập không tạo ra cơ sở cho các tập đóng của tôpô nào đó trên X. Tôpô này sẽ là tôpô hoàn toàn chính quy mịn nhất trên X mà thô hơn tôpô gốc. Trong một mạch tương tự, tôpô Zariski trên An được định nghĩa bởi lấy các tập không của các hàm đa thức như một cơ sở cho các tập đóng.

Trọng lượng và đặc tính

Chúng ta sẽ làm việc với các khái niệm được lập trong (Engelking 1977, p. 12, pp. 127-128)

Cho X là một không gian tôpô. Chúng ta định nghĩa trọng lượng, w(X), là lực lượng tối thiểu của một cơ sở; trọng lượng mạng(network weight), nw(X), là lực lượng tối thiểu của một mạng; đặc tính của một điểm(character of a point), χ(x, X), là lực lượng tối thiểu của cơ sở địa phương tại x trong X; và đặc tính của X là

χ(X) ≜ sup{ χ(x, X) : x ϵ X}

Ở đây, một mạng là một họ 𝒩 của các tập, trong đó, đối với tất cả các điểm x và các lân cận mở U chứa x, tìm được B trong 𝒩 sao cho x ϵ B ⊆ U.

Các điểm tính toán trọng lượng và đặc tính là hữu ích để xem xem các cơ sở và cơ sở địa phương sắp xếp ra sao. Chúng ta có các ý sau:

  • nw(X) ≤ w(X).
  • Nếu X là rời rạc thì nw(X) = w(X) = |X|.
  • Nếu X là Hausdorff thì nw(X) là hữu hạn nếu và chỉ nếu X là rời rạc hữu hạn.
  • Nếu B là một cơ sở của X thì có một cơ sở B’ ⊆ B có cỡ |B’| ≤ w(X)
  • Nếu N là một cơ sở địa phương tại x trong X thì có một cơ sở địa phương N’ ⊆ N có cỡ |N’| ≤ χ(x, X)
  • Nếu f: X → Y là một toàn ánh liên tục, thì nw(Y) ≤ w(X).
  • Nếu ( X, τ ) là Hausdorff, thì tìm được một tôpô Hausdorff yếu hơn ( X, τ’ ) sao cho w( X, τ’ ) nw( X, τ ). Cho nên nếu X là compact nữa thì các tôpô như thế là đồng nhất và do đó chúng ta có, kết hợp với ý đầu tiên, nw(X) = w(X).
  • Nếu f: X → Y là một toàn ánh liên tục từ một không gian metric hóa compact tới một không gian Hausdorff, thì Y là metric hóa compact.

Ý cuối cùng suy từ f(X) là Hausdorff compact, và do đó nw(f(X)) = w(f(X))w(X) ≤ ℵ0 (vì không gian metric hóa compact nhất thiết phải đếm được-thứ hai); cũng như thực tế là các không gian Hausdorff compact chính xác là metric hóa trong trường hợp chúng là đếm được-thứ hai.

Xích tăng của các tập mở

Sử dụng các khái niệm kể trên, cho rằng w(X) ≤ к là một lực lượng vô hạn nào đó. Thì không tồn tại một dãy tăng ngặt của các tập mở (tương đương, dãy giảm ngặt của các tập đóng) có chiều dài ≥ к+.

Để thấy điều này (không dùng tiên đề chọn, có nghĩa là giả sử mọi lực lượng vô hạn đều đếm được. Điều này không ảnh hưởng tới chứng minh vì chúng ta chỉ dùng phương pháp phản chứng), giả thiết

{U𝜉}𝜉ϵ к

là một cơ sở của các tập mở. Và mặt khác cho rằng

{V𝜉}𝜉ϵ к⁺

là một dãy tăng ngặt của các tập mở. Có nghĩa là

∀α < к+ :

coso1

Với

coso2

chúng ta có thể tận dụng cơ sở để tìm Uy nào đó với x trong Uy ⊆ Vα. Bằng cách này chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ  f : к+ к  ánh xạ mỗi α tới một chỉ số bé nhất y mà Uy ⊆ Vα và giao với

coso3

Ánh xạ này là đơn ánh, nếu không thì sẽ có  β > α  mà f(β) = f(α) = y, trong đó vẫn là Uy ⊆ Vα nhưng lại giao với

coso4

Nhưng

coso5

nên Uy ⊆ Vα phải giao với Vβ \ Vα , đó là một mâu thuẫn.

Vậy f phải là đơn ánh. Nhưng điều này lại dẫn tới  к+ ≤ к , cũng mâu thuẫn.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia, trong đó có sự chọn lọc và bổ sung)

Advertisements

Gửi phản hồi

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

%d bloggers like this: