(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Tiền cơ sở(Subbase, subbasis)

Một tiền cơ sở cho một không gian tôpô X với tôpô T là một họ con B của T mà sinh ra T, trong nghĩa T là tôpô nhỏ nhất chứa B. Một định nghĩa khác chút ít được sử dụng bởi một số tác giả, và có những cách định nghĩa tương đương hữu ích khác, những điều này được bàn luận bên dưới.

Định nghĩa

Cho X là một không gian tôpô với tôpô T. Một tiền cơ sở của T thường được định nghĩa là một họ con B của T thỏa một trong hai điều kiện tương đương dưới đây:

  1. Họ B sinh ra tôpô T. Điều này có nghĩa là T là tôpô nhỏ nhất chứa B: bất kỳ tôpô T’ trên X chứa B cũng phải chứa T.
  2. Họ các tập mở bao gồm tất cả các giao hữu hạn các phần tử của B, cùng với tập X, tạo thành một cơ sở cho T.

(Chú ý rằng nếu chúng ta sử dụng quy ước giao rỗng(nullary intersection), thì không cần bao gồm X trong điều kiện thứ hai, vì họ nào cũng có họ rỗng là họ con, mà giao của nó là X.)

Với bất kỳ họ con S của tập mũ P(X), có một tôpô duy nhất có S như một tiền cơ sở. Tuy nhiên, nói chung tiền cơ sở không phải là duy nhất đối với một tôpô nhất định.

Như thế, chúng ta có thể bắt đầu với một tôpô cho trước và tìm tiền cơ sở cho tôpô đó, và chúng ta cũng có thể bắt đầu với một họ con tùy ý của tập mũ P(X) và tạo ra tôpô sinh bởi họ con đó. Chúng ta có thể thoải mái lựa chọn hoặc định nghĩa này, hoặc định nghĩa kia; quả thực, có tình huống mà một trong hai điều kiện hữu ích hơn cái kia.

Định nghĩa khác

Đôi khi, một định nghĩa khác chút ít về tiền cơ sở được đưa ra, đó là, yêu cầu tiền cơ sở B phải phủ X. Trong trường hợp này, X là hợp của tất cả các tập thuộc B. Điều này có nghĩa là không còn sự lẫn lộn liên quan tới giao rỗng trong định nghĩa.

Tuy nhiên, định nghĩa này không luôn luôn tương đương với hai định nghĩa bên trên. Nói một cách khác, có thể có một không gian X với tôpô T mà tìm được một họ con B của T sao cho T là tôpô nhỏ nhất chứa B, nhưng B chưa phủ X. Trong thực hành, đây là hiện tượng hiếm. Còn nói chung, ví dụ, một tiền cơ sở của một không gian mà có ít nhất hai điểm và thỏa tiên đề tách T1 phải là một phủ của không gian đó.

Ví dụ

Tôpô chuẩn(hay tôpô thường) trên ℝ có một tiền cơ sở bao gồm tất cả các khoảng vô hạn bán phần dạng (-∞, a) và (b, ∞), với a, b là các số thực. Các khoảng này cùng với các giao (a, b) = (-∞, b) ⋂ (a, ∞) với a < b sinh ra tôpô chuẩn. Một tiền cơ sở thứ hai được tạo ra bằng cách lấy họ con của tiền cơ sở trước, trong đó a và b là các số hữu tỉ. Tiền cơ sở thứ hai cũng sinh ra tôpô chuẩn, vì các khoảng mở (a, b) với a, b là số hữu tỉ, cùng với các khoảng vô hạn bán phần từ tiền cơ sở, cũng là một cơ sở cho tôpô chuẩn trên ℝ.

Các khoảng vô hạn bán phần chỉ có dạng (-∞, a), trong đó a là một số thực, không sinh ra tôpô chuẩn. Tôpô kết quả không thỏa tiên đề tách T2, vì tất cả các tập mở có giao không rỗng. Cũng có thể lập luận rằng, các phần tử của tiền cơ sở như thế không có giao tạo ra các khoảng mở giới nội (a, b), là các phần tử cơ sở của tôpô chuẩn trên ℝ.

Tôpô đầu trên X, đó là, tôpô xác định bởi một họ hàm fi : XYi trong đó mỗi Yi có một tôpô, là tôpô thô nhất trên X mà mỗi fi là liên tục. Bởi vì tính liên tục có thể được xác định theo các ảnh ngược của các tập mở, cho nên tôpô đầu trên X được cho bằng cách lấy tất cả các fi-1(U), trong đó U chạy trên tất cả các tập con mở của Yi, như một tiền cơ sở.

Hai trường hợp đặc biệt quan trọng của tôpô đầu là tôpô tích, trong đó họ hàm là tập các phép chiếu từ tích xuống mỗi thành phần, và tôpô không gian con, trong đó họ bao gồm chỉ một hàm, là ánh xạ bao hàm.

Tôpô compact-mở trên không gian của các hàm liên tục từ X tới Y có một tiền cơ sở là tập các hàm

V(K,U) = { f : X Y | f(K)U}

trong đó K ⊆ X là compact và U là tập con mở của Y.

Các hệ quả từ tiền cơ sở

Một điều thú vị về tiền cơ sở là tính liên tục của một hàm chỉ cần được kiểm tra trong phạm vi một tiền cơ sở. Đó là, nếu B là một tiền cơ sở cho Y, một hàm f : XY là liên tục nếu và chỉ nếu f-1(U) là mở trong X với mỗi U trong B.

Định lý tiền cơ sở Alexander

Có một kết quả đáng kể liên quan tới tiền cơ sở, do James Waddell Alexaner II.

  • Phát biểu. Cho X là một không gian tôpô với một tiền cơ sở B. Nếu mọi phủ từ các phần tử của B có một phủ con hữu hạn, thì không gian là compact.

Chú ý rằng kết quả tương ứng đối với các phủ cơ sở là tầm thường.

  • Chứng minh.

Chúng ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử không gian X không compact nhưng mọi phủ từ các phần tử của B có một phủ con hữu hạn, rồi chỉ ra mâu thuẫn. Vì X không compact nên tồn tại các phủ mở không có phủ con hữu hạn. Gọi tập các phủ này là P, chúng ta có P là không rỗng. Sắp P theo quan hệ bao hàm, chúng ta có poset P với các xích cực đại của các phủ mở.

Vì P là không rỗng, chúng ta chọn được một xích cực đại F không rỗng. Hợp ⋃F của các phủ của F cũng là một phủ. Dễ thấy ⋃F không có phủ con hữu hạn, do đó ⋃F ϵ P. Vậy ⋃F là một cận trên của F. Áp dụng bổ đề Zorn, chúng ta có một phủ mở C là một phủ cực đại trong P. Giả sử có một tập mở V ∉ C, thì C ⋃ {V} không ở trong P, vì nếu nó thuộc P thì C không còn là cực đại do C ⋃ {V} ⊋ C.

Vậy C ⋃ {V} có phủ con hữu hạn. Do C không có phủ con hữu hạn nên mọi họ con hữu hạn các tập mở trong C đều không phủ được X. Vì vậy phủ con hữu hạn của C ⋃ {V} nhất thiết phải có mặt V, cùng với một họ con hữu hạn các tập mở trong C. Gọi hợp của họ con đó là O, chúng ta có V ⋃ O = X.

Xét  C ⋂ B, đó là một họ con của tiền cơ sở, cũng là một họ con của C. Chúng ta thấy C ⋂ B không phủ X, vì nếu nó phủ X thì nó là một phủ con của tiền cơ sở, theo giả thiết nó có phủ con hữu hạn, dẫn đến C có phủ con hữu hạn là điều mâu thuẫn. Chúng ta lấy một điểm x ϵ X tại nơi mà C ⋂ B không phủ X. Vì C phủ X nên chúng ta tìm được một tập mở U ϵ C mà chứa x. B là một tiền cơ sở nên có một giao hữu hạn các phần tử của B là S1, …, Sn tạo thành một phần tử cơ sở trong tập mở U, chúng ta có:  x ϵ S1 ⋂ …, ⋂ Sn ⊆ U.

Hơn nữa Si ∉ C ∀ i ϵ {1, …, n}, vì nếu Si ϵ C thì C ⋂ B sẽ phủ điểm x, mâu thuẫn với giả thiết rằng C ⋂ B không phủ qua điểm x.

Theo kết quả bên trên, với Si ∉ C, chúng ta có C ⋃ {Si} có một phủ con hữu hạn bao gồm Si và một họ con hữu hạn các tập mở trong C. Nếu hợp của họ con đó là Oi thì Si ⋃ Oi = X, chúng ta có:

tiencoso1

Như vậy, U cùng với một họ con hữu hạn các tập mở trong C phủ X, tạo thành một phủ con hữu hạn của C, trái với giả thiết rằng C không có phủ con hữu hạn. Đó là một mâu thuẫn đã tìm được. Vậy X là compact.

Việc chứng minh định lý có thể dùng nguyên lý siêu lọc thay cho bổ đề Zorn.

Sử dụng định lý tiền cơ sở Alexander với tiền cơ sở cho ℝ kể trên, người ta dễ dàng chứng minh được các khoảng đóng giới nội trong ℝ là compact.

Định lý Tychonoff

tiencoso2

Minh họa tích của hai không gian X1 và X2. Các xi lanh màu xanh là của X1, các đoạn màu xanh thẫm là phần gối lên nhau của các xi lanh. X1 có một xi lanh trống thẳng đứng mà không hề có yếu tố màu xanh, nó chỉ có các yếu tố màu hồng do các xi lanh của X2, hoặc màu trắng tại “lỗ hổng” của không gian tích X. Tương tự, X2 có các xi lanh màu hồng, nó có một xi lanh trống nằm ngang giao với xi lanh trống thẳng đứng tạo ra lỗ hổng là một ô vuông màu trắng. Điểm x trong lỗ hổng không được phủ bởi bất kỳ xi lanh nào.

  • Phát biểu. Nếu (Xα , τα) là các không gian compact với mọi α ϵ A, thì tích X = ∏αϵAXα là không gian compact.
  • Chứng minh. 

Các tập xi lanh pα-1(O) với O ϵ τα, α ϵ A, là các phần tử của một tiền cơ sở cho X. Chúng ta thử phân tích một họ F nào đó của các tập xi lanh. Nếu phép chiếu của các tập xi lanh pα-1(O) của F xuống một không gian thành phần Xα không phủ được Xα thì sẽ có một “khe hở” trong X tương ứng với α. Khe hở đó giống như một “xi lanh trống”, nó giao với mọi xi lanh bao gồm cả xi lanh trống nếu có của các không gian thành phần khác. Như vậy nếu mọi không gian thành phần đều có xi lanh trống thì sẽ có một “lỗ hổng” trong X, và F không phủ được X. Nói cách khác, tìm được một điểm x ϵ X mà tọa độ của nó trên mọi không gian thành phần Xα đều rơi vào “phép chiếu” của xi lanh trống của Xα. Hay x nằm trong mỗi xi lanh trống của các không gian thành phần Xα và không thuộc tập xi lanh nào trong F, điều đó tương đương với F không phủ X.

Bây giờ chúng ta lấy một phủ C bất kỳ của X được hình thành từ các tập xi lanh. Vì C phủ X nên theo lập luận nói trên chúng ta tìm được một α ϵ A mà Xα không có xi lanh trống. Chúng ta định nghĩa một họ Cα các tập mở trong Xα như sau:

Cα = { O ϵ τα : pα-1(O) ϵ C}

Cα chính là họ các phép chiếu của các tập xi lanh của Xα, nó phủ Xα. Vì theo giả thiết, Xα là compact nên Cα có phủ con hữu hạn, chúng ta chọn một phủ con hữu hạn là một họ các tập mở O1, …, On trong Cα. Họ này phủ Xα, do đó, họ các tập xi lanh pα-1(O1), …, pα-1(On) phủ X và là một phủ con hữu hạn của C.

Áp dụng định lý tiền cơ sở Alexander, X là compact.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia, trong đó có sự chọn lọc và bổ sung)

Advertisements

Gửi phản hồi

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: