(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Phủ(Cover)

Tập mũ(power set)

Tập mũ của một tập S, thường được viết là 𝒫(S), là tập tất cả các tập con của S, bao gồm cả tập rỗng và chính S. Nếu S có n phần tử, thì số tập con của S, là số phần tử hay cỡ(cardinality, cũng được dịch là lực lượng hoặc số đếm) của tập mũ của S, bằng: |𝒫(S)| = 2n.

Họ đánh chỉ số, họ của các tập và họ đánh chỉ số của các tập

Họ đánh chỉ số(indexed family) là một tuyển tập các giá trị kết hợp với các chỉ số. Ví dụ chúng ta có một mảng các số thực X = {1.0, 2.5, 3.0, 2.5, 4.0, 5.0, 5.5} với một tập chỉ số I = {0, 1, 2, 3}, thì họ này xác định các giá trị là 1.0, 2.5, 3.0, 2.5. Nếu diễn tả bằng một ánh xạ f từ I tới X, f : I → X, thì chúng ta có f(1) = f(3) = 2.5. Vậy ánh xạ không cần phải đơn ánh.

Họ của các tập(family of sets), kí hiệu (Ai)iϵI , là một họ của các tập nào đó. Khác với họ đánh chỉ số, họ của các tập chứa mọi phần tử chỉ đúng một lần, tức là không có phần tử nào trùng lặp. Như vậy, họ đánh chỉ số có tính khái quát cao hơn họ của các tập.

Họ đánh chỉ số của các tập(indexed family of sets) được định nghĩa như sau:

Cho một tập S và một tập chỉ số I. Một họ đánh chỉ số của các tập {Ci}iϵI  với Ci ⊆ S là một họ đánh chỉ số mà ánh xạ các phần tử của tập chỉ số I tới các phần tử của tập mũ của S.

Một họ nói chung không nhất thiết là một tập. Nhưng trong ngữ cảnh tập hợp, coi nó là một tập sẽ tiện hơn cho các phép toán hay quan hệ. Chẳng hạn, một họ bao hàm một họ con của nó.

Mặc dù khái niệm “họ đánh chỉ số” rộng hơn khái niệm “họ của các tập”, nhưng vì tập mũ của một tập không bao gồm các phần tử trùng nhau nên họ đánh chỉ số của các tập của một tập S chỉ là một khái niệm được định nghĩa rõ ràng của khái niệm họ của các tập trên S, hay họ các tập con của S, và hai khái niệm này có thể được dùng thay đổi.

Họ con

Một họ (Bi)iϵJ là một họ con của họ (Ai)iϵI nếu và chỉ nếu  J ⊆ I và Bi = Ai ∀i ϵ J.

Phủ

Cho một tập X và một họ đánh chỉ số của các tập Ui,

C := {Ui}iϵI

được gọi là một phủ của X nếu

phu1

Đó là, phủ của X là một họ đánh chỉ số của các tập mà hợp của chúng bao hàm X. Chúng ta nói rằng C phủ X.

Trong một không gian tôpô X, một phủ C của X là một họ các tập con Ui của X mà hợp của chúng là toàn bộ không gian X. Nếu A là một tập con của X thì một phủ của A là một họ các tập con của X mà hợp của chúng bao hàm A, viết hình thức là

phu2

Một phủ con(subcover) của C là một họ con của C mà vẫn phủ X. Phủ C là một phủ mở(open cover) nếu mỗi phần tử của nó là một tập mở.

Một phủ của X được gọi là hữu hạn địa phương(locally finite) nếu mọi điểm của X có một lân cận mà giao với chỉ một số hữu hạn các tập trong phủ. Một cách hình thức, C = {Ui} là hữu hạn địa phương nếu với mọi x ϵ X, tìm được một lân cận N(x) của x sao cho tập các chỉ số

{ i ϵ I | Ui ⋂ N(x) ≠ Ø}

là hữu hạn. Một phủ của X được gọi là hữu hạn điểm(point finite) nếu mọi điểm của X được chứa trong chỉ một số hữu hạn các tập trong phủ. Dễ thấy điều kiện hữu hạn địa phương của phủ bao hàm điều kiện hữu hạn điểm vì nếu tại một điểm x ϵ X có vô hạn các phần tử của phủ chứa x thì mọi lân cận của x đều giao với vô hạn các phần tử của phủ.

Phủ tinh chế(Refinement)

Một phủ tinh chế của một phủ C của một không gian tôpô X là một phủ mới D của X mà với mọi tập Vj trong D, tìm được một tập Ui trong C mà Vj ⊆ Ui

Mọi phủ con cũng là một phủ tinh chế, nhưng ngược lại thì không đúng. Phủ con được sinh ra từ các tập trong phủ cha của nó mà bớt đi một vài tập nào đó, trong khi phủ tinh chế bao gồm các tập con của bất kỳ tập nào trong phủ nguồn.

Quan hệ tinh chế là một quan hệ bán thứ tự(preorder) trên tập các phủ của X.

Số chiều phủ(covering dimension)

Một không gian tôpô X được nói là có số chiều phủ n nếu mọi phủ mở của X có một phủ tinh chế mở hữu hạn điểm sao cho không điểm nào của X được chứa trong nhiều hơn n + 1 tập trong phủ tinh chế, và nếu n là giá trị nhỏ nhất để thỏa điều đó. Nếu không có n như thế tồn tại, không gian được nói là phủ vô hạn chiều.

Không gian compact

Một không gian tôpô được gọi là compact nếu mọi phủ mở của nó có một phủ con hữu hạn.

Không gian paracompact

Một không gian paracompact là một không gian tôpô mà mọi phủ mở của nó có một phủ tinh chế mở hữu hạn địa phương.

Mọi không gian compact là paracompact. Mọi không gian Hausdorff paracompact là chuẩn tắc.

Không gian metacompact

Một không gian tôpô được gọi là metacompact nếu mọi phủ mở của nó có một phủ tinh chế mở hữu hạn điểm.

Không gian Lindelöf

Không gian Lindelöf là một không gian tôpô mà mọi phủ mở của nó có một phủ con đếm được. Mọi không gian đếm được-thứ hai là không gian Lindelöf, nhưng đảo lại không đúng. Tuy nhiên đối với không gian metric thì khả li, Lindelöf và đếm được-thứ hai là tương đương.

(Bài viết này tham khảo một số nguồn trên Wikipedia)

 

Advertisements

Gửi phản hồi

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

%d bloggers like this: