(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Lưới(net)

Lưới là tổng quát hóa của khái niệm dãy. Về bản chất, một dãy là một hàm với miền(domain) là tập số tự nhiên ánh xạ vào tập mục tiêu(codomain), nói chung, là một không gian tôpô. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh tôpô, dãy không mã hóa đủ tất cả thông tin về một hàm giữa các không gian tôpô. Cụ thể, hai điều kiện dưới đây nói chung là không tương đương đối với ánh xạ f giữa hai không gian tôpô X và Y:

  1. Ánh xạ f là liên tục(liên tục trong nghĩa tôpô)
  2. Cho điểm x bất kỳ trong X, và một dãy bất kỳ trong X hội tụ tới x, thì dãy hàm f của dãy này hội tụ tới f(x)(liên tục trong nghĩa tuần tự)

Điều kiện 1 bao hàm điều kiện 2. Nhưng khó để chứng minh điều kiện 2 bao hàm điều kiện 1 khi không gian tôpô nói chung là không đếm được-thứ nhất. Với không gian đếm được-thứ nhất hai điều kiện trên là tương đương. Ví dụ, hai điều kiện này là tương đương đối với các không gian metric.

Mục đích của khái niệm lưới là tổng quát hóa khái niệm dãy cũng như để đảm bảo hai điều kiện trên là tương đương(với “dãy” thay bằng “lưới” trong điều kiện 2). Cụ thể, thay vì định nghĩa trên tập có thứ tự toàn phần đếm được, một lưới được định nghĩa trên một tập dẫn(directed set) tùy ý. Như thế một không gian tôpô không nhất thiết phải có cơ sở lân cận đếm được xung quanh một điểm. Do đó, trong khi dãy không mã hóa đầy đủ về một hàm giữa các không gian tôpô thì lưới làm được điều đó vì họ các tập mở trong không gian tôpô có thể đóng vai trò của tập dẫn. Thuật ngữ “net” được đặt ra bởi Kelley.

Lưới là một trong nhiều công cụ được sử dụng trong tôpô để tổng quát hóa những khái niệm nhất định, những khái niệm mà nguyên bản có thể chỉ còn đúng trong ngữ cảnh của các không gian metric.

Định nghĩa.

Cho một không gian tôpô X, một lưới trong X là một hàm từ một tập dẫn A tới X. Kí hiệu (xα) biểu thị phần tử α trong A được ánh xạ tới phần tử xα trong X.

Ví dụ về lưới

Mọi tập có thứ tự toàn phần là tập dẫn. Do đó mọi hàm trên một tập như thế là một lưới. Cụ thể, một dãy sử dụng tập số tự nhiên làm tập dẫn, nó cũng là một lưới. Vậy mọi dãy là một lưới.

Một ví dụ khác như sau. Cho một điểm x trong một không gian tôpô, Nx biểu thị tập tất cả các lân cận chứa x. Như thế Nx là tập dẫn theo hướng bao hàm ngược, nghĩa là nếu S và T là hai lân cận của x thì S ≥ T khi và chỉ khi S được bao hàm trong T. Gọi xs là một điểm trong S thì (xs) là một lưới. Khi S tăng với phương diện ≥ thì điểm xs trong lưới được ràng buộc để nằm trong lân cận nhỏ hơn của x. Chúng ta thấy xs có xu hướng dần tới x. Chúng ta có thể làm rõ khái niệm giới hạn này.

Giới hạn của lưới

Nếu (xα) là một lưới từ một tập dẫn A vào X, và nếu Y là một tập con của X, thì chúng ta nói rằng (xα) rốt cuộc trong(eventually in), hay sót lại trong(residually in) Y nếu tồn tại một α trong A sao cho với mọi β trong A với β ≥ α điểm xβ đều nằm trong Y.

Nếu (xα) là một lưới trong không gian tôpô X, và x là một phần tử của X, chúng ta nói rằng lưới hội tụ về phía x hoặc có giới hạn x và viết limα xα = x, nếu và chỉ nếu, với mọi lân cận U của x, (xα) rốt cuộc trong U.

Bằng trực quan, điều này có nghĩa là giá trị xα dần tới x ngày càng gần như chúng ta mong muốn khi α đủ lớn.

Định nghĩa bổ sung

Cho φ là một lưới trên X dựa trên tập dẫn D và cho A là một tập con của X, thì φ được nói là thường xuyên trong(frequently in), hay cuối cùng trong(cofinally in) A nếu với mọi α trong D tìm được β ≥ α, β trong D, sao cho φ(β) ở trong A.

Một điểm x trong X được nói là một điểm tích lũy(accumulation point) hoặc điểm cụm(cluster point) của một lưới nếu và chỉ nếu với mọi lân cận U của x, lưới thường xuyên trong U.

Một lưới φ trên tập X được gọi là vạn năng(universal), hoặc là một siêu lưới(ultranet) nếu với mọi tập con A của X, hoặc φ rốt cuộc trong A hoặc φ rốt cuộc trong X \ A.

Ví dụ về giới hạn của dãy trong không gian tôpô

Một dãy (an) trong một không gian tôpô V có thể coi như một lưới trong V định nghĩa trên ℕ+. Lưới rốt cuộc trong một tập con Y của V nếu tìm được N trong ℕ+ sao cho với mọi n ≥ N, điểm an đều ở trong Y.

Chúng ta có limn an = L nếu và chỉ nếu với mọi lân cận Y của L, lưới vẫn rốt cuộc trong Y.

Ví dụ về hàm từ một không gian metric tới một không gian tôpô

Giả sử có một hàm từ một không gian metric M tới một không gian tôpô V, và một điểm c của M. Chúng ta dẫn tập M\{c} dần tới c với quan hệ là “ít nhất có cùng khoảng cách tới c như” sao cho “đủ lớn” đối với quan hệ có nghĩa là “đủ gần tới c”. Hàm f là một lưới trong V định nghĩa trên M\{c}.

Lưới f rốt cuộc trong một tập con Y của V nếu tồn tại một a trong M\{c} sao cho với mọi x trong M\{c} có khoảng cách d(x, c) ≤ d(a, c), điểm f(x) đều ở trong Y.

Chúng ta có limxc f(x) = L nếu và chỉ nếu với mọi lân cận Y của L, f đều rốt cuộc trong Y.

Ví dụ về hàm từ một tập được sắp thứ tự tốt tới một không gian tôpô

Giả sử có một tập được sắp thứ tự tốt [0, c] với điểm giới hạn c, một hàm f từ [0, c) tới một không gian tôpô V. Hàm này là một lưới trên [0, c). Nó rốt cuộc trong một tập con Y của V nếu tồn tại một a trong [0, c) mà với mọi x ≥ a, điểm f(x) đều ở trong Y.

Chúng ta có limxc f(x) = L nếu và chỉ nếu với mọi lân cận Y của L, f đều rốt cuộc trong Y.

Các định lý, bổ đề và tính chất

  • Một hàm f: X → Y giữa các không gian tôpô là liên tục tại điểm x nếu và chỉ nếu với mọi lưới (xα) với

lim xα = x

chúng ta có

lim f(xα) = f(x)

Chú ý rằng định lý này nói chung là không đúng nếu các lưới là các dãy. Chúng ta cần cho phép các tập dẫn nhiều hơn chứ không phải chỉ là các tập số tự nhiên, nếu như X là không đếm được-thứ nhất.

  • Nói chung, một lưới trong một không gian X có thể có nhiều hơn một giới hạn, nhưng nếu X là một không gian Hausdorff thì giới hạn của một lưới nếu có, là duy nhất. Ngược lại, nếu X không phải là Hausdorff thì có một lưới trên X với hai giới hạn khác nhau. Chú ý rằng điều này còn tùy thuộc vào điều kiện dẫn; một tập đánh chỉ số theo quan hệ bán thứ tự (preorder) hoặc thứ tự bộ phận(partial order) có thể có giới hạn khác nhau thậm chí trong một không gian Hausdorff.
  • Nếu U là một tập con của X, thì x ở trong bao đóng của U nếu và chỉ nếu tìm được một lưới (xα) với giới hạn x mà xα ở trong U với mọi α(giả định là không có điểm cô lập).
  • Một tập con A của X là đóng nếu và chỉ nếu, hễ khi nào (xα) là một lưới với các phần tử trong A và giới hạn x, thì x ở trong A.
  • Tập các điểm cụm của một lưới bằng với tập các giới hạn của các lưới con hội tụ của nó.
  • Một lưới có một giới hạn nếu và chỉ nếu tất cả các lưới con của nó có giới hạn. Khi đó, mọi giới hạn của lưới cũng là giới hạn của mọi lưới con.
  • Một không gian X là compact nếu và chỉ nếu mọi lưới (xα) trong X có một lưới con với một giới hạn trong X. Điều này có thể được xem như một tổng quát hóa của định lý Bolzano-Weierstrass và định lý Heine-Borel.
  • Một lưới trong không gian tích có một giới hạn nếu và chỉ nếu mỗi phép chiếu có một giới hạn. Một cách tượng trưng, nếu (xα) là một lưới trong tích X = ∏iX i thì nó hội tụ tới x nếu và chỉ nếu πi(xα) → πi(x) cho mỗi i. Với điều này và đặc tính compact kể trên về lưới, người ta có thể đưa ra bằng chứng tốt cho định lý Tychonoff.
  • Nếu có ánh xạ f : X → Y và (xα) là một siêu lưới trên X, thì (f(xα)) là một siêu lưới trên Y.

Liên quan tới lọc

Lọc là một ý tưởng khác trong tôpô mà cho phép định nghĩa tổng quát của hội tụ trong không gian tôpô nói chung. Hai ý tưởng là tương đương trong nghĩa rằng chúng đưa ra cùng khái niệm về hội tụ. Cụ thể hơn, với mọi cơ sở lọc(filter base) một lưới kết hợp có thể được thiết lập, và hội tụ của cơ sở lọc bao hàm hội tụ của lưới kết hợp- và theo chiều ngược lại, với mọi lưới có một cơ sở lọc, và hội tụ của lưới bao hàm hội tụ của cơ sở lọc. Ví dụ, một lưới bất kỳ (xα)αϵA trong X cảm sinh một cơ sở lọc với những đuôi {{ xα : α ϵ A, α0 ≤ α} : α0 ϵ A} trong đó lọc trong X sinh ra bởi cơ sở lọc này được gọi là lọc tình huống(eventuality filter) của lưới. Sự tương hợp này cho phép bất kỳ định lý nào có thể được chứng minh bằng cách dùng cái này để chứng minh cái kia. Ví dụ, tính liên tục của một hàm số từ một không gian tôpô tới một không gian tôpô khác có thể được đặc trưng hoặc bởi hội tụ của một lưới trong miền dẫn tới hội tụ của lưới tương ứng trong tập mục tiêu, hoặc bởi phát biểu như thế với các cơ sở lọc.

Robert G. Bartle lập luận rằng mặc dù có sự tương đương giữa chúng, sẽ là hữu ích để có cả hai khái niệm này. Ông lập luận rằng lưới là đủ giống dãy để làm bằng chứng tự nhiên và định nghĩa tương tự như dãy, đặc biệt đối với những người sử dụng các yếu tố tuần tự, chẳng hạn như phổ biến trong phân tích, trong khi lọc là hữu ích nhất trong tôpô đại số. Trong mọi trường hợp, ông cho thấy làm thế nào hai thứ có thể được sử dụng kết hợp để chứng minh các định lý khác nhau trong tôpô đại cương.

Giới hạn cận trên(Limit superior)

Giới hạn cận trên và giới hạn cận dưới(limit inferior) của một lưới của ℝ có thể được xác định tương tự như với dãy. Một số tác giả làm việc ngay cả với các cấu trúc tổng quát hơn ℝ, như (mạng) lưới đầy đủ(complete lattices).

 Với một lưới (xα)αϵI chúng ta đặt

luoi

Giới hạn cận trên của một lưới của ℝ có nhiều tính chất tương tự như trường hợp của dãy, ví dụ

lim sup(xα + yα)  ≤  lim sup xα + lim sup yα

trong đó dấu bằng xảy ra khi một trong các lưới hội tụ.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia)

 

Advertisements

Gửi phản hồi

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: