(91) 350-9520 support@omarine.org M-F: 7 AM - 7 PM; Weekends: 9 AM - 5 PM

Không gian giới nội và giới nội toàn phần(Bounded and totally bounded space)

Chúng ta biết rằng một tập được gọi là giới nội nếu hiểu nôm na là nó có kích cỡ hữu hạn, hay nó có thể được chứa trong một siêu cầu(hypersphere) có bán kính hữu hạn, hoặc có thể phát biểu một tập là giới nội nếu nó có cả cận trên và cận dưới. Ví dụ một khối(volume) ba chiều nằm trong một hình cầu(sphere) bán kính hữu hạn là tập của các điểm của nó giới nội trong hình cầu.

Chú thích. Trong toán học đặc biệt là hình học giải tích, một lĩnh vực toán học cổ điển, sphere được gọi là mặt cầu(spherical surface). Chúng ta có phương trình quen thuộc của mặt cầu tâm (x0, y0, z0) bán kính r là một số thực dương

(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2

Nếu mặt cầu có tâm đặt tại gốc tọa độ, nó là tập

khonggiangioinoi1

Trong ngữ cảnh khác, sphere được xem là khối cầu(spherical volume), tức là bao gồm bề mặt cầu và cả các điểm bên trong của nó. Và trong trường hợp chung như thế sphere đôi khi cũng đồng nghĩa với quả cầu hay trái cầu(ball). Vì thế để hàm ý một khối cầu thì khái niệm quả cầu là rõ ràng hơn hình cầu. Hơn nữa trong tôpô chúng ta thường quan tâm tới sự gần hơn giữa các điểm với các khái niệm khá lỏng như lân cận hay tập mở thì khái niệm quả cầu có cảm giác là không cần phải tròn trịa như hình cầu, được ưa dùng hơn. Quả cầu còn được tổng quát hóa với số chiều của không gian khác 3, xem như một siêu cầu(hypersphere hay hyperball, n-ball).

Một đa giác nằm trong một đường tròn bán kính hữu hạn là giới nội. Một tập số thực là giới nội nếu nó nằm trong một khoảng hữu hạn.

Chú thích. Ở trên chúng ta sử dụng tính chất Archimede, không có các phần tử lớn vô cùng và bé vô cùng, do đó khoảng (-∞, +∞), tức ℝ là không giới nội(kí hiệu ∞ chỉ biểu thị cho đầu mút vô biên và không có giá trị trong ℝ). Việc bổ sung hai phần tử -∞ và +∞ vào tập số thực để tạo ra tập số thực mở rộng ℝ ⋃ {-∞, +∞} làm ảnh hưởng đến một số định nghĩa và thuật ngữ. Chẳng hạn khoảng (-∞, +∞) = ℝ bình thường  là đóng nhưng đối với ℝ ⋃ {-∞, +∞}  nó lại không đóng.  Nhưng mặt khác, ℝ trở thành giới nội trong ℝ ⋃ {-∞, +∞}, và tập số thực mở rộng cho phép chúng ta định nghĩa một tôpô thứ tự(order topology) trên ℝ ⋃ {-∞, +∞}. Trong tôpô này, một tập U là một lân cận của +∞ nếu và chỉ nếu nó chứa một tập {x : x > a} với a ϵ ℝ.

Khái niệm giới nội trên không còn đúng với không gian metric, các không gian vô hạn vẫn có thể giới nội. Đó là do tính tổng quát của metric, nó không chỉ là chiều dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm như metric Euclid. 

Không gian metric M được gọi là giới nội nếu tồn tại một số thực r sao cho d(x, y) ≤ r Ɐ x, y ϵ M. Số thực r có thể có nhỏ nhất như thế được gọi là đường kính của M. Đường thẳng thực ℝ có chiều dài vô hạn, nhưng với metric rời rạc, d(x, y) ≤ 1 Ɐ x, y ϵ ℝ, do đó nó giới nội.

Không gian metric M được gọi là giới nội toàn phần nếu với mọi số thực r > 0 tồn tại một số hữu hạn các quả cầu mở bán kính r mà hợp của chúng phủ M.

 khonggiangioinoi2

Các quả cầu mở phủ hình chữ nhật, tạo thành một phủ tinh chế có số chiều bằng số chiều của ℝ2, mỗi điểm của không gian được chứa trong nhiều nhất là 2 + 1 = 3 quả cầu mở.

Dễ thấy không gian giới nội toàn phần thì giới nội, nhưng đảo lại thì chưa chắc. Trong ví dụ trên, không gian metric rời rạc của ℝ là giới nội, nhưng không giới nội toàn phần. Một không gian metric rời rạc là giới nội toàn phần khi và chỉ khi nó hữu hạn. Một không gian của khoảng (a, b) với metric thông thường(metric Euclid) thì giới nội toàn phần, nhưng với metric rời rạc thì không, thật vậy,

Với metric thông thường, nếu r ≥ b – a thì chỉ cần một quả cầu mở có tâm tại bất kỳ điểm nào thuộc (a, b) là có thể phủ khoảng (a, b). Nếu không, chúng ta chia khoảng (a, b) thành những khoảng con có độ dài r với điểm chia đầu tiên là a + r, điểm chia thứ hai là a + 2r, …. Số điểm chia trong khoảng (a, b) sẽ là ⌊(b – a)/r⌋, là một số hữu hạn. Các quả cầu mở tâm tại các điểm chia, bán kính r(các quả cầu này thực chất là những khoảng mở nhận điểm chia làm trung điểm, có độ dài 2r) sẽ phủ hết khoảng (a, b).

khonggiangioinoi3

Các quả cầu mở là ℬ(a + ir; r) = {x : a < x < b ∧ a + (i – 1)r < x < a + (i + 1)r}  ⩝ i ϵ ℕ+ ∧ i < (b – a)/r

Nhưng với metric rời rạc nếu chúng ta chọn r = 1 thì mỗi quả cầu mở là một điểm. Không thể có một số hữu hạn các quả cầu có thể phủ được khoảng (a, b), vì số điểm trong khoảng đó là vô hạn.

Advertisements

Gửi phản hồi

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.

%d bloggers like this: