Tôpô tích(Product topology)

Một không gian tích là một tích Đề các của một họ các không gian tôpô gắn với một tôpô tự nhiên gọi là tôpô tích.

Định nghĩa. Cho

tich1

là tích Đề các của các không gian tôpô Xi đánh chỉ số bởi i ϵ I, và các phép chiếu chính tắc pi : X Xi, tôpô tích trên X được định nghĩa là tôpô thô nhất(đó là tôpô có ít tập mở nhất) sao cho tất cả các phép chiếu pi là liên tục. Tôpô tích đôi khi được gọi là tôpô Tychonoff.

Các tập mở trong tôpô tích là hợp(hữu hạn hoặc vô hạn) của các tập có dạng ∏iϵIUi trong đó mỗi Ui là mở trong Xi và Ui ≠ Xi , với |I| là hữu hạn. Cụ thể, với một tích hữu hạn(chẳng hạn, tích của hai không gian tôpô), tích các phần tử cơ sở của Xi cho ra một cơ sở cho tích ∏iϵIXi .

Tôpô tích trên X là tôpô sinh ra bởi các tập có dạng pi-1(U), trong đó i ϵ I và U là một tập mở của Xi . Nói cách khác, các tập pi-1(U) tạo ra một tiền cơ sở cho tôpô trên X. Một tập con của X là mở nếu và chỉ nếu nó là một hợp(có thể vô hạn) của các giao hữu hạn các tập pi-1(U). Các tập pi-1(U) đôi khi được gọi là các tập xi lanh.

Nói chung, tích tôpô của các Xi tạo ra một cơ sở cho một tôpô được gọi là tôpô hộp trên X. Nói chung, tôpô hộp là mịn hơn tôpô tích, nhưng đối với tích hữu hạn thì chúng như nhau.

Các ví dụ

 Nếu người ta bắt đầu với tôpô chuẩn trên ℝ và định nghĩa một tôpô trên tích của n bản sao của ℝ như thế, người ta đạt được tôpô Euclid thông thường trên ℝn.

Tập Cantor đồng phôi với tích nhiều bản sao đếm được của không gian rời rạc {0, 1} và không gian của các số vô tỉ đồng phôi với tích nhiều bản sao đếm được của các số tự nhiên, trong đó mỗi bản sao lại mang tôpô rời rạc.

Các tính chất

Không gian tích X, cùng với các phép chiếu chính tắc, có thể được đặc trưng bởi tính chất vạn năng như sau: Nếu Y là một không gian tôpô, và với mọi i ϵ I, ánh xạ fi : Y → Xi là liên tục, thì tìm được chính xác một ánh xạ liên tục f : Y → X sao cho với mỗi i trong I sơ đồ dưới đây giao hoán:

tich2

Điều này chỉ ra rằng tôpô tích là một tích trong thể loại không gian tôpô. Nó dẫn từ tính chất vạn năng kể trên mà một ánh xạ f : Y X là liên tục nếu và chỉ nếu fi = pi f là liên tục ∀ i ϵ I. Trong nhiều trường hợp dễ thấy các hàm thành phần fi là liên tục, trong khi kiểm tra xem liệu ánh xạ f : Y X có liên tục không thì thường là khó hơn; người ta cố gắng sử dụng thực tế rằng pi là liên tục trong vài cách.

Ngoài tính liên tục, các phép chiếu chính tắc pi : X Xi là các ánh xạ mở. Điều này có nghĩa là các tập con mở của không gian tích duy trì mở khi chiếu xuống Xi. Đảo lại thì không đúng: nếu W là không gian con của không gian tích mà các phép chiếu của nó xuống tất cả các Xi là mở, thì W không nhất thiết là mở trong X. Ví dụ W = ℝ2 \ (0, 1)2 không mở trong ℝ2, nhưng phép chiếu của nó là toàn bộ ℝ, là mở. Các phép chiếu chính tắc nói chung không phải là các ánh xạ đóng. Ví dụ tập đóng {(x, y) ϵ ℝ2 : xy = 1} có phép chiếu trên cả hai trục là ℝ \ {0}, là không đóng vì chúng mất điểm giới hạn là điểm 0.

Tôpô tích cũng được gọi là tôpô hội tụ pointwise vì lý do như sau: một dãy(hoặc lưới) trong X hội tụ nếu và chỉ nếu tất cả các phép chiếu của nó xuống các không gian Xi là hội tụ. Cụ thể, nếu chúng ta xem xét không gian X = ℝI của tất cả các hàm thực trên I, hội tụ trong không gian tích giống như hội tụ pointwise của các hàm.

Bất kỳ tích của các tập đóng của Xi là một tập đóng trong X.

Một định lý quan trọng về tôpô tích là định lý Tychonoff: tích của các không gian compact là compact. Điều này là dễ thấy đối với các tích hữu hạn, trong khi phát biểu chung là tương đương với tiên đề chọn.

Mối liên quan với các khái niệm tôpô khác

  • Tách
    • Mọi tích của các không gian T0 là T0
    • Mọi tích của các không gian T1 là T1
    • Mọi tích của các không gian Hausdorff là Hausdorff
    • Mọi tích của các không gian chính quy là chính quy
    • Mọi tích của các không gian Tychonoff là Tychonoff
    • Tích của các không gian chuẩn tắc không nhất thiết chuẩn tắc
  • Compact
    • Mọi tích của các không gian compact là compact(định lý Tychonoff)
    • Tích của các không gian compact địa phương không nhất thiết là comapct địa phương. Tuy nhiên, một tích tùy ý của các không gian compact địa phương trong đó tất cả là compact ngoại trừ một số hữu hạn không gian, là comapct địa phương(đây là điều kiện cần và đủ)
  • Liên thông
    • Mọi tích của các không gian liên thông(tương ứng, liên thông-kênh) là liên thông(tương ứng, liên thông-kênh)
    • Mọi tích của các không gian không liên thông di truyền là không liên thông di truyền.

Tiên đề chọn

Tiên đề chọn tương đương với phát biểu rằng tích của một họ các tập không rỗng là không rỗng. Chứng minh là khá dễ: chúng ta chỉ cần nhặt một phần tử từ mỗi tập để tìm một đại diện trong tích. Ngược lại, một đại diện của tích là một tập mà chứa chính xác một phần tử từ mỗi thành phần.

Tiên đề chọn một lần nữa lại xảy đến với nghiên cứu không gian tích(tôpô); ví dụ, định lý Tychonoff trên các tập compact là một minh chứng rõ nét và phức tạp hơn của một phát biểu mà tương đương với tiên đề chọn.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia)

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.