Không gian Hausdorff(Hausdorff space)

Một không gian Hausdorff, còn được gọi là không gian tách hay không gian T2 là một không gian tôpô mà các điểm khác nhau có lân cận rời nhau. Điều kiện này của không gian Hausdorff được sử dụng thường xuyên nhất trong các tiên đề tách mà có thể áp dụng đối với một không gian tôpô. Không gian Hausdorff bao hàm tính duy nhất của giới hạn của các dãy, lưới, và lọc(filter).

Không gian Hausdorff được đặt tên theo Felix Hausdorff, một trong những người sáng lập tôpô. Định nghĩa gốc của Hausdorff về không gian tôpô (năm 1914) bao gồm điều kiện Hausdorff như một tiên đề.

Định nghĩa

Trong một không gian Hausdorff, với hai điểm x và y khác nhau bất kỳ, luôn tìm được các lân cận U của x và V của y sao cho U ⋂ V = Ø. X là một không gian Hausdorff nếu tất cả các điểm phân biệt trong X từng đôi có thể tách nhau bởi lân cận. Điều kiện này là tiên đề tách sau T0 và T1 do đó không gian Hausdorff còn được gọi là không gian T2. Tên không gian tách cũng được sử dụng.

Một khái niêm liên quan nhưng yếu hơn, đó là không gian tiền chính quy. X là một không gian tiền chính quy nếu bất kỳ hai điểm phân biệt tôpô có thể tách nhau bởi lân cận. Không gian tiền chính quy cũng được gọi là không gian R1.

Mối quan hệ giữa hai điều kiện này như sau: một không gian tôpô là Hausdorff nếu và chỉ nếu nó là cả tiền chính quy và Kolmogorov (đó là, các điểm phân biệt có thể phân biệt tôpô). Một không gian là tiền chính quy nếu và chỉ nếu thương Kolmogorov của nó là Hausdorff.

Sự tương đương

Với một không gian tôpô X, những khẳng định dưới đây là tương đương:

  • X là một không gian Hausdorff.
  • Giới hạn của các lưới trong X là duy nhất.
  • Giới hạn của các lọc trong X là duy nhất.
  • Bất kỳ tập đơn {x} ⊆ X là bằng với giao của tất cả các lân cận đóng của x. (Một lân cận đóng của x là một tập đóng chứa một tập mở chứa x.)
  • Đường chéo Δ = {(x, x) : x ϵ X} là đóng như một tập con của không gian tích X × X.

Các ví dụ và phản ví dụ

Hầu như tất cả các không gian gặp phải trong phân tích là Hausdorff; quan trọng nhất, ℝ với tôpô metric chuẩn là không gian Hausdorff. Tổng quát hơn, tất cả các không gian metric là Hausdorff. Chúng ta có thể dễ dàng thấy điều này bằng cách, lấy hai điểm x và y khác nhau bất kỳ, thì hai quả cầu mở ℬ(x; d(x, y)/2) và ℬ(y; d(x, y)/2) là rời nhau. Thực tế, nhiều không gian sử dụng trong phân tích, chẳng hạn các nhóm tôpô và manifold tôpô, có điều kiện Hausdorff được phát biểu rõ ràng trong định nghĩa của chúng.

Một ví dụ đơn giản về một tôpô là T1 nhưng không phải Hausdorff là tôpô bù hữu hạn định nghĩa trên một tập vô hạn.

Các không gian giả metric điển hình là không Hausdorff, nhưng chúng là tiền chính quy, và việc sử dụng chúng trong phân tích thường chỉ trong sự thiết lập các không gian gauge Hausdorff. Quả thực, khi các nhà phân tích chạy qua một không gian không Hausdorff, nó hầu như chắc chắn vẫn ít nhất là tiền chính quy, và rồi họ đơn giản là thay nó với thương Kolmogorov của nó, cái mà là Hausdorff.

Trong khi sự tồn tại các giới hạn duy nhất cho các lưới và lọc hội tụ ngụ ý rằng một không gian là Hausdorff, có các không gian T1 không Hausdorff trong đó mọi dãy hội tụ có một giới hạn duy nhất.

Các tính chất

Các không gian con và tích của không gian Hausdorff là Hausdorff, nhưng các không gian thương của không gian Hausdorff không nhất thiết là Hausdorff. Thực tế, mọi không gian tôpô có thể biến thành thương của một không gian Hausdorff nào đó.

Các không gian Hausdorff là T1, nghĩa là tất cả các tập đơn là đóng. Tương tự, các không gian tiền chính quy là R0.

Một tính chất thú vị khác của không gian Hausdorff là các tập compact luôn đóng. Điều này có thể là sai trong các không gian không Hausdorff chẳng hạn như không gian Sierpiński.

Định nghĩa của một không gian Hausdorff nói rằng các điểm có thể được tách nhau bởi lân cận. Suy ra rằng điều này dường như ngụ ý có gì đó mạnh hơn: trong một không gian Hausdorff mọi cặp các tập compact rời nhau cũng có thể tách nhau bởi lân cận. Đây là một ví dụ về qui tắc chung là các tập compact thường đối xử như các điểm.

Các điều kiện compact cùng với tiền chính quy thường hàm ý các tiên đề tách mạnh hơn. Ví dụ, bất kỳ không gian tiền chính quy compact địa phương là chính quy đầy đủ. Các không gian tiền chính quy compact là chuẩn tắc, nghĩa là chúng thỏa bổ đề Urysohn và định lý mở rộng Tietze, và có phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào các phủ mở hữu hạn địa phương. Phiên bản Hausdorff của những phát biểu này là: mọi không gian Hausdorff compact địa phương là Tychonoff, và mọi không gian Hausdorff compact là Hausdorff chuẩn tắc.

Các kết quả dưới đây là một số tính chất kỹ thuật liên quan tới các ánh xạ, tới và từ các không gian Hausdorff.

Cho f : X → Y là một hàm liên tục và cho rằng Y là Hausdorff. Thì đồ thị của f, {(x, f(x)) : x ϵ X} là một tập con đóng của X × Y.

Cho f : X → Y là một hàm liên tục và cho ker(f) ≜ {(x, x’) : f(x) = f(x’)} là hạt nhân của nó có vai trò như một không gian con của X × X.

  • Nếu f là liên tục và Y là Hausdorff thì ker(f) là đóng.

Chứng minh.

hausdorff1

Chúng ta chứng minh D = X × X \ ker(f) là mở, từ đó suy ra ker(f) là đóng.

Chúng ta có D = {(x, x’) : f(x) ≠ f(x’)} . Lấy một điểm bất kỳ (x1, x2) ϵ D. Vì f(x1) ≠ f(x2) và Y là Hausdorff nên tìm được hai lân cận trong Y, O1 của f(x1) và O2 của f(x2) sao cho O1 ⋂ O2 = ∅. Mặt khác, f là liên tục nên chúng ta có hai tập mở trong X, U chứa x1 và V chứa x2 sao cho f(U) ⊆ O1f(V) ⊆ O2. Do O1 ⋂ O2 = ∅ nên f(U) ⋂ f(V) = ∅. Như vậy ∀xϵ U và ∀x’ ϵ V đều có f(x) ≠ f(x’). Nói cách khác, U × V ⊆ D. Hơn nữa, U × V là một tập mở trong X × X. Xét hợp

hausdorff2

Rõ ràng E ⊆ D. Mặt khác, mỗi điểm (x1, x2) ϵ D đều được chứa trong một tập mở U × V nên D ⊆ E. Như vậy, D = E là mở.

  • Nếu f là một toàn ánh mở và ker(f) là đóng thì Y là Hausdorff.
  • Nếu f là một toàn ánh mở, liên tục (đó là một ánh xạ thương mở) thì Y là Hausdorff nếu và chỉ nếu ker(f) là đóng.

Nếu f, g : X → Y là các ánh xạ liên tục và Y là Hausdorff thì hàm cân bằng eq(f, g) = {x : f(x) = g(x)} là đóng trong X. Suy ra nếu Y là Hausdorff và fg gặp nhau trên một tập con trù mật của X thì f = g. Nói cách khác, các hàm liên tục vào các không gian Hausdorff được xác định bởi các giá trị của chúng trên các tập con trù mật.

Cho f : X → Y là một toàn ánh đóng sao cho f-1(y) là compact ∀y ϵ Y. Thì nếu X là Hausdorff, Y cũng vậy.

Cho f : X → Y là một ánh xạ thương với X là một không gian Hausdorff compact. Thì các khẳng định dưới đây là tương đương:

  • Y là Hausdorff.
  • f là một ánh xạ đóng.
  • Ker(f) là đóng.

Tiền chính quy so với chính quy

Tất cả các không gian chính quy là tiền chính quy, như là tất cả các không gian Hausdorff cũng thế. Có nhiều kết quả cho các không gian tôpô mà áp dụng cho cả các không gian chính quy và Hausdorff. Hầu như mọi lúc, những kết quả này áp dụng cho tất cả các không gian tiền chính quy; chúng được kê riêng cho các không gian chính quy và Hausdorff bởi vì ý tưởng về không gian tiền chính quy đến sau. Mặt khác, những kết quả mà chính xác dành cho không gian chính quy thường cũng không áp dụng đối với các không gian Hausdorff không chính quy.

Có nhiều tình huống mà điều kiện khác của các không gian tôpô (chẳng hạn như paracompact hoặc compact địa phương) sẽ bao hàm chính quy nếu tiền chính quy được thỏa. Các điều kiện như thế thường đến với hai phiên bản: một phiên bản chính quy và một phiên bản Hausdorff. Mặc dù các không gian Hausdorff nói chung không phải là chính quy, nhưng một không gian Hausdorff mà cũng compact địa phương sẽ là chính quy, bởi vì mọi không gian Hausdorff là tiền chính quy. Như thế từ một quan điểm nhất định, nó thực tế là tiền chính quy chứ không phải chính quy, rõ nhất là khi giả định không tính các tình huống với điều kiện bổ sung như vậy. Tuy nhiên, các định nghĩa vẫn thường dùng thuật ngữ chính quy, vì điều kiện này được biết là tốt hơn tiền chính quy. Như đã nói về khái niệm tiền chính quy đến sau, việc phân loại đối tượng và chỉnh lý các thuật ngữ luôn tiếp diễn trong các giai đoạn lịch sử.

(Bài viết này được dịch từ nguồn trên Wikipedia, trong đó có sự chọn lọc và bổ sung)

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.